的特征值和特征向量

的特征值和特征向量Tag内容描述：<p>1、数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第7章 矩阵的特征值和特征向量 很多工程计算中，会遇到特征值和特征向量的计算，如： 机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界 值等。这些特征值的计算往往意义重大。 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 特征值： 的根 为矩阵A的特征值 特征向量：满足的向量v为矩阵A的对于特征值 的 称为矩阵A的特征多项式 是高次的多项式，它的求根是很困难的。没有数值方 法是通过求它的根来求矩。</p><p>2、一. 方阵的特征值与特征向量 二. 相似矩阵及其性质 三. 矩阵可对角化的条件 四. 实对称矩阵的对角化 第四章 矩阵的特征值与特征向量 1. 特征值与特征向量的定义 定义1: 注： 设 是 阶方阵， 若数 和 维非零列向量 ，使得 成立，则称 是方阵 的一个特征值， 为方阵 的对应于特征值 的一个特征向量。 1.定义 2.求法 3.性质 （2）特征向量 是非零列向量 （4）一个特征向量只能属于一个特征值 （3）方阵 的与特征值 对应的特征向量不唯一 是方阵 一. 方阵的特征值与特征向量 问题：单位矩阵的特征值和特征 向量？ 或 已知所以齐次线性方程组有。</p><p>3、矩阵特征值与特征向量 n一填空题 n2, 3, 4, 5, 8, 9，10 n二选择题 n6，7 n三计算 n2,4,8 n四证明 n2，4 1 一、填空 2. 因为是正交矩阵, 所以 又因为所以 故 3. 因为所以 4. 因为的特征值是的特征值的倒数. 2 5.因为设由于对称矩阵的 属于不同特征值的特征向量是正交的, 所以 解齐次方程组 得一非零解 3 8. 因为则与有相同的特征值, 已知的全部 特征值为故的全部特征值为 从而的全部特征值为 存在可逆矩阵使得 即 4 所以 5 9. 因为设为的非零解, 即 所以是的一个特征值. 10. 的三个特征值分别为 因为设为的特征值, 即 且 从而 即 又因为的。</p><p>4、3.3 实对称矩阵特征值和特征向量,永远可以对角化。,实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵。,这类矩阵的最大优点是特征值都是实数，,定理3.12 实对称矩阵的特征值都是实数。,一、 实对称矩阵特征值的性质,证明：设,是 阶实对称矩阵，,是矩阵 的在复数,域上的任一特征值，,属于 的特征向量为,两边取复数共轭得到,则 ，,于是，,(3.11),由于 ，,对最后一式取复数转置，,得到,两边再右乘 ，,得到,所以有,特征值都是实数。,这样， 是实数。,由 的任意性，,实对称矩阵 的,特征向量都是实数向量。,附注：,进一步地有，,实对称矩阵,的属于特征值的,。</p><p>5、4.1 矩阵的特征值与特征向量,矩阵的特征值 特征值与特征向量的性质,第四章 矩阵的特征值,说明,一、矩阵的特征值,说明,说明,求矩阵A的特征值及特征向量问题就转化为求解多项式方程以及齐次线性方程组的通解问题.,解,例,解,得基础解系为,例 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于 的特征向量，则,证明,例 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于 的特征向量，则,证明,例 设矩阵 A 为对合矩阵(即 A2 = I), 且 A 的特征值都是 1 , 证明 : A = I .,由于 A 的特征值都是 1 , 这说明 -1 不是 A 的特征值,例,试证,证：必要性,如果 A 是奇异矩阵，则。</p><p>6、线性代数 第五章,第五章 方阵的特征值、特征向量与相似化简,本章教学内容 1 数域 多项式的根 2 方阵的特征值与特征向量 3 方阵相似于对角矩阵的条件 4 正交矩阵 5 实对称矩阵的相似对角化 *6Jordan标准形简介,1 数域 多项式的根,本节教学内容 1.数域的概念 2.多项式的根与标准分解式,1 数域 多项式的根,1.数域的概念 定义1.1 设F 是一个数集，F 中至少包含两个不 同的数，如果F 中任意两个数的和、差、积、商 (当除数不为零时)仍是F 中的数，则称F 是一个数 域。 注 数域对数的四则运算(除数不为零)封闭。 数域F 必包含0和1两个数。 证 依。</p>