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矩阵特征值与特征向量 n一填空题 n2, 3, 4, 5, 8, 9，10 n二选择题 n6，7 n三计算 n2,4,8 n四证明 n2，4 1 一、填空 2. 因为是正交矩阵, 所以 又因为所以 故 3. 因为所以 4. 因为的特征值是的特征值的倒数. 2 5.因为设由于对称矩阵的 属于不同特征值的特征向量是正交的, 所以 解齐次方程组 得一非零解 3 8. 因为则与有相同的特征值, 已知的全部 特征值为故的全部特征值为 从而的全部特征值为 存在可逆矩阵使得 即 4 所以 5 9. 因为设为的非零解, 即 所以是的一个特征值. 10. 的三个特征值分别为 因为设为的特征值, 即 且 从而 即 又因为的特征值为所以 故的特征值分别为 6 二选择题 n6. 7 n7. 又因为 所以的特征值为 8 三、计算 2. 解: (1) 因为 所以的全部特征值为 9 求属于特征值特征向量: 因为 取得特征向量 故属于特征值的特征向量为 其中为任意非零常数. 10 求属于特征值(二重根)的特征向量: 因为 取得 故属于特征值的特征向量为 其中为任意不全为零的常数. 取得 11 (2) 用施密特正交化方法将正交化得: 再将单位化得: 12 令 则有 13 4. 解: 因为所以 是的一个特征值. 而 又因为所以 故有一个特征值 8. 解: 因为均不可逆, 所以 故 的全部特征值为 设为的属于任一特征值的特征向量, 则 从而 14 所以是 的特征值, 故 的全部特征值为 从而 又因为 所以是的特征值, 故的全部特征值为 所以 15 四、证明题 2. 证明: 因为对任意非零向量都有 所以的全部特征值为零. 从而的特征值也为零. 若不然, 设有特征值 则有非零向量使得 从而有所以有非零的特征值,
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