的特征值与特征向量

的特征值与特征向量Tag内容描述：<p>1、1 第五章 相似矩阵 第五章 相似矩阵 5.1 方阵的特征值与特征向量 5.2 矩阵相似对角化 5.3 Jordan标准形介绍 * 2 第五章 相似矩阵 5.1 方阵的特征值与特征向量 5.1 方阵的特征值与特征向量 一、问题的引入 二、基本概念 三、特征值与特征向量的求解方法 四、特征值的性质 五、特征向量的性质 3 第五章 相似矩阵 5.1 方阵的特征值与特征向量 一、问题的引入 矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用， 如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题，数学领域 中方阵的对角化、微分方程组的求解、线性方程组的迭 代法求解等问题都会用到该。</p><p>2、一. 方阵的特征值与特征向量 二. 相似矩阵及其性质 三. 矩阵可对角化的条件 四. 实对称矩阵的对角化 第四章 矩阵的特征值与特征向量 1. 特征值与特征向量的定义 定义1: 注： 设 是 阶方阵， 若数 和 维非零列向量 ，使得 成立，则称 是方阵 的一个特征值， 为方阵 的对应于特征值 的一个特征向量。 1.定义 2.求法 3.性质 （2）特征向量 是非零列向量 （4）一个特征向量只能属于一个特征值 （3）方阵 的与特征值 对应的特征向量不唯一 是方阵 一. 方阵的特征值与特征向量 问题：单位矩阵的特征值和特征 向量？ 或 已知所以齐次线性方程组有。</p><p>3、矩阵特征值与特征向量 n一填空题 n2, 3, 4, 5, 8, 9，10 n二选择题 n6，7 n三计算 n2,4,8 n四证明 n2，4 1 一、填空 2. 因为是正交矩阵, 所以 又因为所以 故 3. 因为所以 4. 因为的特征值是的特征值的倒数. 2 5.因为设由于对称矩阵的 属于不同特征值的特征向量是正交的, 所以 解齐次方程组 得一非零解 3 8. 因为则与有相同的特征值, 已知的全部 特征值为故的全部特征值为 从而的全部特征值为 存在可逆矩阵使得 即 4 所以 5 9. 因为设为的非零解, 即 所以是的一个特征值. 10. 的三个特征值分别为 因为设为的特征值, 即 且 从而 即 又因为的。</p><p>4、第四章 矩阵的特征值与特征向量 一.特征值与特征向量的概念与计算 二.相似矩阵与可对角化矩阵 三. 实对称矩阵的特征值与特征向量 *四. 矩阵级数 五.特征值与特征向量的应用 历史点滴 v1743年，法国数学家达朗贝尔（1717-1783）在研 究常系数线性微分组的解的问题时提出“特征 值”的概念 v1820初，法国数学家柯西首先用“特征值” 的方法对实二次型进行研究，后据此提出了实 对称矩阵的“标准形理论” v1878年，法国数学家弗罗贝尼乌斯（1849-1917） 首先定义了矩阵的“相似”与“合同”的概念 并证明了它们的一些主要性质 一.特征值与特。</p><p>5、3.3 实对称矩阵特征值和特征向量,永远可以对角化。,实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵。,这类矩阵的最大优点是特征值都是实数，,定理4.12 实对称矩阵的特征值都是实数。,一、 实对称矩阵特征值的性质,证明：设,是 阶实对称矩阵，,是矩阵 的在复数,域上的任一特征值，,属于 的特征向量为,两边取复数共轭得到,则 ，,于是，,(4.11。</p><p>6、第7章 矩阵的特征值和特征向量,很多工程计算中，会遇到特征值和特征向量的计算，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等。这些特征值的计算往往意义重大。,特征值：,的根 为矩阵A的特征值,特征向量：满足,的向量v为矩阵A的对于特征值 的特征向量,称为矩阵A的特征多项式,是高次的多项式，它的求根是很困难的。没有数值方法是通过求它的根,来求矩阵的特征值。通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。若要,求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换，“收敛”到对角阵或上（下）三角阵，,从而求。</p><p>7、一、特征值与特征向量的概念,解,例1,例,解,解,得基础解系为：,例 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于 的特征向量，则,证明,证明,则,即,类推之，有,二、特征值和特征向量的性质,把上列各式合写成矩阵形式，得,注意,. 属于不同特征值的特征向量是线性无关 的,. 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量,. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值,例5 设A是 阶方阵，其特征多项式为,解,三、特征值与特征向量的求法,求矩阵特征值。</p>