定积分的几何

定积分的几何Tag内容描述：<p>1、1.7.11.7.1定积分在几何定积分在几何 中的应用中的应用 一.定积分的几何意义是什么？ A 1、如果函数f（x）在a，b上连续且f（x）0时，那么： 定积分 就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。 曲边梯形的面积 复习引入 曲边梯形的面积的负值 2、定积分 的数值在 几何上都可以用曲边梯形面积的 代数和来表示。 A 二、微积分基本定理内容是什么？ 设函数f(x)在区间a,b上连续，并且F(x)f（x)，则 ， 这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus) ，又叫牛顿莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula). 例1 计算由曲线y2=x， y=x2。</p><p>2、第八节 定积分的几何应用举例 v一、元素法 v二、平面图形的面 积 v三、体积 v四、平面曲线的弧 长 v五、总结 回顾 曲边梯形求面积的问题 a b x y o 面积表示为定积分的步骤如下 （3） 求和，得A的近似值 a b x y o （4） 求极限，得A的精确值 提示 面积元素 一、元素法的一般步骤： 这个方法通常叫做元素法 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长 ；功；水压力；引力和平均值等 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 1、直角坐标系情形 二、平面图形的面积 解两曲线的交点 面积元素 选 为积分变量 解两曲线的交点 选 为积分变量 于是。</p><p>3、1.7定积分的简单应用,-在几何中的应用,1、定积分的几何意义：,x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。,当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，,一、复习引入,巩固练习,利用定积分的几何意义求各式的值：,解：（1）如图由几何意义,（2）如图由几何意义,一、复习引入,2、微积分基本定理：,如果f(x)是区间a,b上的连续函数,并且 F(x)=f(x),则,求导运算和积分运算实际上是互为逆运算，熟练掌握基本函数的导数公式，是正确求解定积分的前提。结合定积分的几何意义，我们知道，平面图形的面积与定积分有很大的联。</p><p>4、6.7 定积分几何应用,一、元素（微元）法 二、简单区域的面积 三、某些立体的体积 四、平面曲线的弧长 五、旋转体的侧面积,1.回顾,曲边梯形求面积的问题,一、元素（微元）法,面积表示为定积分的步骤如下,（3） 求和，得A的近似值,（4） 求极限，得A的精确值,提示,元素法的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,1.直角坐标系情形,二、简单区域的面积,X型区域的面积,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,解,两曲线的交点,选 。</p><p>5、第六节 定积分的几何应用,引 从定积分的定义可知，定积分可以用于求解曲边梯形的面积.那么定积分在几何上还有其它方面的应用吗？定积分应用的一般方法和步骤是什么呢？,一、微元法,微元法也称微元分析法, 它是定积分应用的基础, 给出了用定积分方法解决各种求和问题的一般方法. 定积分作为一种数学方法, 研究的是某些量的计算问题. 记所研究的量为 Q , 量 Q 如果符合下列条件:,(1) Q 是与一个变量 x 的变化区间a, b有关的量;,(2) Q 对于区间 a , b 具有可加性, 也就是说, 如果把区间 a , b 分成许多部分区间, 则 Q 相应地分成许多部分量, 。</p><p>6、设yf (x)0 (xa，b),A(x) f (t)dt,A(x) f (t)dt是以a, x为底的曲边梯形的面积,A= f(x)dx 是以a, b为底的曲边梯形的面积,5.4 定积分在几何问题中的应用举例,一、定积分的元素法,曲边梯形面积A(x)的微分为dA(x)f (x)dx，,点x处，高为f (x) 、宽为dx的矩形的面积为：f (x)dx,DAf (x)dx，且DAf (x)dxo(dx),f (x)dx称为曲边梯形的面积元素,以a，b为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f (x)dx为 被积表达式，以a，b为积分区间的定积分：,A(x) f (t)dt,A f (x)dx,一般情况下，为求某一量U (不一定就是面积，即使是面积 也不一定是曲边梯形的面积)。</p><p>7、第五章,定积分的应用,一.定积分的微元法,二.定积分在几何上的应用,三.定积分在经济分析上的应用,第一节,定积分的微元法,第五章,定积分的微元法,复习（如图，求曲边梯形的面积）,1) 大化小.,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2) 常代变.,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,矩形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3) 近似和.,4) 取极限.,令,则曲边梯形面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,表示为,1、什么问题可以用定积分解决 ?,1) 所。</p><p>8、5-1-1,第六章 定积分的应用,1 微元法 2 定积分的几何应用 3 定积分的物理应用(不讲),5-1-2,6 .1 定积分的微元法,5-1-3,究竟哪些量可用定积分来计算呢.,首先讨论这个问题.,结合曲边梯形面积的计算,?,一、问题的提出,可知,用定积分计算的量,应具有如下,及定积分的定义,许多部分区间,(即把a, b分成,两个特点:,(1) 所求量I 即与a, b有关;,(2) I 在a, b上具有可加性.,则I 相应地分成许多部分量,而I 等于所有部分量之和),5-1-4,按定义建立积分式有四步曲:,“分割、,有了N-L公式后,对应用问题来说关键就在于如何写出,方法,简化步骤,被积表达式.,。</p><p>9、一、平面图形的面积 二、定积分的元素法 三、旋转体的体积 四、小结、作业,5.4 定积分的几何应用,直角坐标系下平面图形面积的计算,一、平面图形的面积,例1,解,所围成的图形如图所示：,平面图形的面积。,例2,解,所围成的图形如图所示:,则,先解联立方程组,则图形的面积为,解,先求两曲线的交点。,例3,注意： 此题选取纵坐标 为积分变量，而没有选取 横坐标 为积分变量，请思考这时为什么？若选取 横坐标 为积分变量能否得到这个问题的结果？,二、定积分的元素法,在定积分的应用中，经常采用“元素法”。为了说明这种方法，我们回顾引入定积分。</p><p>10、二、平面图形的面积,三、体积,6.2 定积分在几何学上的应用,四、平面曲线的弧长,一、元素法,回顾,曲边梯形求面积的问题,一、元素法,面积表示为定积分的步骤如下,（3） 求和，得A的近似值,（4） 求极限，得A的精确值,提示,微元法的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,f上(x) f下(x)dx, 它也就是面。</p><p>11、二、平面图形的面积,三、体积,6.2 定积分在几何学上的应用,四、平面曲线的弧长,一、元素法,回顾,曲边梯形求面积的问题,一、元素法,面积表示为定积分的步骤如下,（3） 求和，得A的近似值,（4） 求极限，得A的精确值,提示,微元法的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,f上(x) f下(x)dx, 它也就是面积元素。</p>