《定积分在几何、物理中的应用》参考课件.ppt

1.7.11.7.1定积分在几何定积分在几何 中的应用中的应用 一.定积分的几何意义是什么？ A 1、如果函数f（x）在a，b上连续且f（x）0时，那么： 定积分 就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。 曲边梯形的面积 复习引入 曲边梯形的面积的负值 2、定积分 的数值在 几何上都可以用曲边梯形面积的 代数和来表示。 A 二、微积分基本定理内容是什么？ 设函数f(x)在区间a,b上连续，并且F(x)f（x)，则 ， 这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus) ，又叫牛顿莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula). 例1 计算由曲线y2=x， y=x2所围图形的面积S。 分析 首先画草图（1.7-1）.从图 中可以看出，所求图形的面积可 以转化为两个曲边梯形面积的差 ，进而可以用定积分求面积S。 为了确定出被积函数和积分的上 、下限，我们需要求出两条曲线 的交点的横坐标。 解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示: 即两曲线的交点为(0,0),(1,1) o x y A B C D O 直线y=x-4与x轴交点为(4,0) 解:作出y=x-4, 的图象 如图所示: S1 S2 点评：求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) (3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解. 定积分在几何中的应用 1.求下列曲线所围成的图形的面积: (1)y=x2,y=2x+3; (2)y=ex,y=e,x=0. 解:求两曲线的交点: 8 2 解: 求两曲线的交点: 于是所求面积 思考题：在曲线y=x2 (x0)上某点A处作切线, 使之与曲线及x轴围成图形的面积为1/12。 求过点A的切线方程. A x y o y=x2 三.小结 求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) (3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解. 设物体运动的速度v=v(t) (v(t)0) ，则 此物体在时间区间a, b内运动的距离s为 一、变速直线运动的路程 v/m/s t/s 104060 30 O AB C 解：由速度时间曲线可知 ： 二、变力沿直线所作的功 1、恒力作功 2、变力所做的功 问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且 物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b点 ，则变力F(x) 所做的功为: 例2 如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置 拉到离水平位置L 米处，求克服弹力所作的功 解：在弹性限度内，拉伸（ 或压缩）弹簧所需的力（ x）与弹簧拉伸（或压缩） 的长度x成正比 即：F(x)=kx 所以据变力作功公式有 L 1、一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作用下,沿着与 力F相同的方向,从x=0处运动到 x=4处(单位:m),求 F(x)所作的功. 练一