二次型为标准型

二次型为标准型Tag内容描述：<p>1、用正交变换化二次型为标准形，其特点是用正交变换化二次型为标准形，其特点是 保持几何形状不变保持几何形状不变 下面介绍一种有效的方法下面介绍一种有效的方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法 第六节第六节 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形 一、拉格朗日配方法的具体步骤一、拉格朗日配方法的具体步骤 1 1、二次型中含有平方项、二次型中含有平方项 2 2、二次型中不含有平方项、二次型中不含有平方项 1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经。</p><p>2、二次型经可逆线性变换化为标准形和经正交变换化为标准形有什么区别？首先要搞清两个概念：矩阵的相似和合同矩阵的相似： 设为阶矩阵，若存在可逆矩阵使，则与相似。相似的性质(相似的必要条件)：若,则(1)； (2) ； (3)即有相同的特征值； (4) 。矩阵的合同：和为两个阶对称矩阵,若存在阶可逆矩阵使，则称与合同。 例如：则有，显然两矩阵合同特征值未必相同！从而两矩阵合同未必相似！由实对称矩阵的性质实对称矩阵一定能相似对角化。从而一定存在可逆阵使得,特别地,必有正交矩阵（）使为的特征值，故而任意一个实对称矩阵，一定存在正交。</p><p>3、用配方法化二次型为标准型 Lagrange配方法 小结及思考题 一、拉格朗日配方法的具体步骤 用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变 问题 有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？ 问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法拉格朗日配方法 1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形; 拉格朗日配方法的步骤 2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按。</p><p>4、用配方法化二次型为标准型,Lagrange配方法 小结及思考题,一、拉格朗日配方法的具体步骤,用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变,问题 有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？,问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法拉格朗日配方法,1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形;,拉格朗日配方法的步骤,2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按。</p><p>5、第六章第二节,二次型化为标准型的三种方法,用可逆（或正交）变换化二次型为标准形,目标：,问题转化为：,定理 3 对任意n元实二次型 f（x1,x2，,xn)=XTAX( A 为 n 阶对称矩阵)，则必有正交矩阵 P ,使,正交变换的特征是保持向量的长度不变,定义 若 为正交矩阵，则线性变换 称为正交变换,在几何中将二次曲线或曲面的方程化为标准型方程时，如果,要求保持图形的几何性质（如保持图形的形状不变）,就要使用,正交变换等方法。,次型，使变换保持尺度不变。,在统计等方面的应用中，也常常使用正交变换的方法处理二,用正交变换化二次型为标准形的具。</p><p>6、5.2 化实二次型为标准形,定义 只含平方项的二次型称为标准形,化二次型为标准形的方法,正交代换法,配方法,初等变换法,1 正交代换法, 即用正交矩阵化实对称矩阵 为对角矩阵的方法,解,(1) 写出二次型的矩阵,(2) 求出二次型矩阵的特征值与特征向量,A 的特征值分别为,正交化得,对应于,的特征子空间的一组基为,(3) 写出变量的正交代换，化二次型为 标准形,令 X = QY,二次型化为,2 配方法,解,(1) 检验是否含有某个变量的平方项无,作如下的非退化的线性代换,二次型变为,所作的线性代换为。</p>