二阶常系数非齐次微分方程

二阶常系数非齐次微分方程Tag内容描述：<p>1、二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 通解结构 常见类型 难点 如何求特解 方法 待定系数法 自由项为 二阶常系数非齐次线性微分方程 一 型 设非齐方程特解为 代入原方程 综上讨论 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程 k是重根次数 特别地 例1 解 特征方程 特征根 对应齐次方程通解 代入方程 得 原方程通解为 求通解 解 特征方程 特征根 齐通解 即 代入 式 非齐通解为 例。</p><p>2、二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,一、 型,第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程,设非齐方程特解为,代入原方程,综上讨论,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,特别地,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例1,利用欧拉公式,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取虚部）,例2,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取实部）。</p><p>3、第五节 二阶常系数线性齐次微分方程,一、二阶常系数线性齐次微分 方程解的性质与通解结构 二、二阶常系数线性齐次微分 方程的解法,的方程，称为二阶线性微分方程.当 时，方程(1)成为,形如,定理11.1 设y1(x)， y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个解，则 也是方程(3)的解，其中C1, C2是任意常数.,一、二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构,证,这个定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两个解y1(x)， y2(x)的线性组合 ，仍是方程的解.那么， 是不是方程(3)的通解呢？,例1 对于二阶常系数线性齐次微分方程,容易验证： 都是它。</p><p>4、二阶常系数非齐次线性微分方程,机动目录上页下页返回结束,第六节,一、,二、,二阶常系数线性非齐次微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,机动目录上页下页返回结束,一、,为实数,设特解为,其中为待定多项式,代入原方程,得,(1)若不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为。</p><p>5、2020 3 20 1 二阶常系数齐次线性微分方程的通解 2020 3 20 2 一 定义 n阶常系数线性微分方程的标准形式 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 2020 3 20 3 二 二阶常系数齐次线性方程解法 特征方程法 将其代入上方程 得 故有 特征方程 特征根 2020 3 20 4 有两个不相等的实根 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 特征根为。</p><p>6、1,第六节 二阶常系数非齐次 线性微分方程,小结 思考题 作业,非齐次,第十二章 微分方程,2,方程,对应齐次方程,通解结构,难点,方法,二阶,常系数,非齐次,线性,如何求非齐次方程特解？,待定系数法.,3,设非齐方程特解为,求导代入原方程,4,综上讨论,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性,微分方程(k是重根次数).,不是根,是单根,是重根,5,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例,(1) 求对应齐次方程的通解,(2) 求非齐次方程的特解,此题,其中,?,6,代入方程, 得,原方程通解为,7,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,(1) 求对应齐次方程的通解,此题。</p><p>7、第五节二阶常系数齐次线性微分方程 这是一类有专门的求解方法微分方程 定义形如y py qy f x 的方程称为二阶常系数线性微分方程 其中p q是常数 f x 称为自由项 特别地 当f x 0时 y py qy 0称为二阶常系数线性齐次微分方程 否则称为线性非齐次微分方程 证毕 是方程 的两个解 也是该方程 证 代入方程左边 得 定理 叠加原理 的解 定理表明 二阶线性齐次微分方程任何两个解y1。</p>