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二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 通解结构 常见类型 难点 如何求特解 方法 待定系数法 自由项为 二阶常系数非齐次线性微分方程 一 型 设非齐方程特解为 代入原方程 综上讨论 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程 k是重根次数 特别地 例1 解 特征方程 特征根 对应齐次方程通解 代入方程 得 原方程通解为 求通解 解 特征方程 特征根 齐通解 即 代入 式 非齐通解为 例2 分别是 的实部和虚部 可设 辅助方程 由分解定理 分别是以 为自由项的非齐次线性微分方程的特解 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程 例3 解 对应齐方通解 作辅助方程 代入上式 所求非齐方程特解为 取虚部 原方程通解为 这种方法称为复数法 例4 解 对应齐方通解 作辅助方程 代入辅助方程 所求非齐方程特解为 取实部 原方程通解为 注意 例5 解 对应齐方程通解 用常数变易法求非齐方程通解 原方程通解为 例6 求通解 解 相应齐方程 特征方程 齐通解 先求 的特解 设 代入方程 再求 的特解 考虑辅助方程 可设 代入方程得 取实部得 原方程的特解 所求通解为 例7 设 具有连续的二阶偏导数 且满足 求u的表达式 解 记 则 同理 这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程 解得 一链条悬挂在一钉子上 起动时一端离钉子8米 另一端离钉子12米 若不计摩擦力 求此链条滑过钉子所需的时间 下段重为 解 设时刻t链条下落了x米 另设链条单位长重为 则上段重为 由Newton第二定律 例8 特征方程 特征根 齐通解 特解 故 代入初始条件 解得 三 小结 待定系数法 只含上式一项解法 作辅助方程 求特解 取特解的实部或虚部 得原非齐方程特解 思考题 写出微分方程 的待定特解的形式 思考题解答 设的特解为 设的特解为 则所求特解为 特征根 重根 练习题 练习题答案
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