二重积分的概念

二重积分的概念Tag内容描述：<p>1、二重积分的定义和计算,知识准备,回忆定积分.,设一元函数 y = f (x) 在a, b可积. 则有,如图,其中xi = xi+1 xi , 表示小区间xi, xi+1的长, f ( i) xi表示小矩形的面积.,有一空间几何体. 其底面是 xoy 面上的区域D, 其侧面为母线平行于 z 轴的柱面, 其顶是曲面 z= f (x, y), 我们称为曲顶柱体.,我们知道，顶是平面的平顶柱体的体积V = 底面积高， 那么曲顶柱体的体积V怎么计算呢？,一、引例,(1)用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2, Dn ,每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体.,如图,z = f (x,y),z = f (x,y),Di,Di,计算步骤,(2)由于Di很小, 小曲。</p><p>2、第二十一章 重积分,1 二重积分概念,(一) 教学目的：掌握二重积分的定义和性质 (二) 教学内容：二重积分的定义和性质 (1) 基本要求：掌握二重积分的定义和性质，二重积分的充要条件，了解有界闭区域上的连续函数的可积性 (2) 较高要求：平面点集可求面积的充要条件,平面图形的面积 二重积分的定义及其存在性 二重积分的性质,一、平面图形的面积,设有界平面图形 P,存在矩形 R 使得,用平行于坐标轴的直线,网 T 分割这个图形,记,为,记,为,显然有,记,称为 P 的内面积.,称为 P 的外面积.,定义1 若平面图形 P 的内面积等于它的外面积，则,称 P 为。</p><p>3、主 要 内 容,二 重 积 分,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,二重积分的定义,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,二重积分的性质,性质,当 k 为常数时，,性质,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积，,性质,若在D上,特殊地,则有,性质,性质,二重积分的计算,X型,（）直角坐标系下,Y型,（）极坐标系下,D :,D :,D :,注意：,当被积函数为,积分区域是圆或,圆的一部分时，在极坐标系下化为二次积分， 常可简化计算。,二重积分的应用,(1) 体积,设S曲面的方程为：,曲。</p><p>4、第二十一章 重积分,1 二重积分的概念 2 直角坐标系下的二重积分的计算 3 格林公式 曲线积分与路径无关的条件 4 二重积分的变量变换（换元积分法） 5 三重积分的概念 6 重积分的应用,1 二重积分的概念,一、平面图形的面积 二、问题的提出 三、二重积分的定义 四、二重积分存在的条件 五、二重积分的性质,一、平面图形的面积,为了研究定义在平面点集上二元函数的积分，,D,设平面图形D有界,则存在一个矩形R,使得,为了考察D的面积，先用一组平行于坐标轴的直线网T分割D ，如图,T的网眼（小矩形）i可 以分为三类：,(1) i上的点均是D内的点；,(2。</p><p>5、1 -,第一节 二重积分的概念和性质,一 二重积分的概念 二 二重积分的性质,- 2 -,一 二重积分的概念,1）曲顶柱体的体积,1 两个实例,解法: 类似定积分解决问题的思想:,给定曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面，,“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”,求其体积.,- 3 -,1)“大化小”,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2)“常代变”,在每个,3)“近似和”,则,中任取一点,小曲顶柱体,- 4 -,4)“取极限”,令,- 5 -,2）平面薄片的质量,有一个平面薄片, 在 xoy。</p><p>6、第六节 二重积分的概念及性质,一、引例 二、二重积分的定义 三、二重积分的性质,一、引例,解 分三步解决这个问题.,引例1 质量问题.,已知平面薄板D的面密度(即单位面积的质量) 是点(x,y)的连续函数,求D的质量.,(1)分割 将D用两组曲线任意分割成n个小块:,其中任意两小块 和 除边界外无公共 点.与一元函数的情况类似，我们用符号 既表 示第i个小块，也表示第i个小块的面.(i=1,2,n).,故所要求的质量m的近似值为,(2)近似、求和 若记 为 的直径(即 表示 中任 意两点间距离的最大值)，将任意一点 处的密度 近似看作为整个小块 的面密 度.得,引例2。</p><p>7、1,第10章重积分,10.1二重积分,一、引例,二、二重积分的定义及可积性,三、二重积分的性质,四、曲顶柱体体积的计算,五、利用直角坐标计算二重积分,六、利用极坐标计算二重积分,七、二重积分换元法,Page2,解法:类似定积。</p><p>8、1 重积分重积分定积分概念的推广 定积分 定积分概念的推广 定积分y=f(x) 区间区间a,b 被积函数积分域计算 二重积分 被积函数积分域计算 二重积分z=f(x,y) 平面平面D化为二次定积分 三重积分 化为二次定。</p><p>9、,1,第10章 重积分,10.1 二重积分,一、引例,二、二重积分的定义及可积性,三、二重积分的性质,四、曲顶柱体体积的计算,五、利用直角坐标计算二重积分,六、利用极坐标计算二重积分,七、二重积分换元法,.,Page 2,解法: 类似定积分解决问题的思想:,一、引例,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z。</p>