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- 1 -,第一节 二重积分的概念和性质,一 二重积分的概念 二 二重积分的性质,- 2 -,一 二重积分的概念,1）曲顶柱体的体积,1 两个实例,解法: 类似定积分解决问题的思想:,给定曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面，,“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”,求其体积.,- 3 -,1)“大化小”,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2)“常代变”,在每个,3)“近似和”,则,中任取一点,小曲顶柱体,- 4 -,4)“取极限”,令,- 5 -,2）平面薄片的质量,有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .,度为,设D 的面积为 ,则,若,非常数 ,仍可用,其面密,“大化小, 常代变,近似和, 求 极限”,解决.,1)“大化小”,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,相应把薄片也分为小区域 .,- 6 -,2)“常代变”,中任取一点,3)“近似和”,4)“取极限”,则第 k 小块的质量,- 7 -,两个问题的共性：,(1) 解决问题的步骤相同,(2) 所求量的结构式相同,“大化小, 常代变, 近似和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,- 8 -,2 二重积分的定义及可积性,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I , 使,可积 ,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界区域 D上的有界函数 ,- 9 -,如果 在D上可积,也常,二重积分,这时,分区域D ,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,实例1中曲顶柱体体积:,实例2中平面薄板的质量:,（称其为直角坐标下的面积元素），,记作,- 10 -,二重积分存在定理:,若函数,(证明略),在D上可积.,在有界闭区域 D,则,上连续,对二重积分定义的说明：,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,- 11 -,二 二重积分的性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,性质,当 为常数时，,性质,- 12 -,性质,若 为,的面积，,性质,若在D上,则有,特殊地,性质,（二重积分估 值不等式）,- 13 -,性质,（二重积分 中值定理）,证: 由性质6 可知,由连续函数介值定理, 至少有一点,使,因此,- 14 -,例1. 比较下列积分的大小:,其中,解:,它与 x 轴交于点 (1,0) ,而域 D 位,从而,于直线的上方, 故在 D 上,积分域 D 的边界为圆周,- 15 -,例2. 判断积分,
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