二重积分定义

二重积分定义Tag内容描述：<p>1、二重积分的定义和计算,知识准备,回忆定积分.,设一元函数 y = f (x) 在a, b可积. 则有,如图,其中xi = xi+1 xi , 表示小区间xi, xi+1的长, f ( i) xi表示小矩形的面积.,有一空间几何体. 其底面是 xoy 面上的区域D, 其侧面为母线平行于 z 轴的柱面, 其顶是曲面 z= f (x, y), 我们称为曲顶柱体.,我们知道，顶是平面的平顶柱体的体积V = 底面积高， 那么曲顶柱体的体积V怎么计算呢？,一、引例,(1)用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2, Dn ,每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体.,如图,z = f (x,y),z = f (x,y),Di,Di,计算步骤,(2)由于Di很小, 小曲。</p><p>2、一、三重积分的定义,直角坐标系中将三重积分化为三次积分,二、三重积分的计算,如图，,得,注意,解,解,如图，,解,解,原式,解,如图,三重积分的定义和计算,在直角坐标系下的体积元素,（计算时将三重积分化为三次积分）,三、小结,思考题,选择题:,练 习 题,练习题答案。</p><p>3、主 要 内 容,二 重 积 分,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,二重积分的定义,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,二重积分的性质,性质,当 k 为常数时，,性质,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积，,性质,若在D上,特殊地,则有,性质,性质,二重积分的计算,X型,（）直角坐标系下,Y型,（）极坐标系下,D :,D :,D :,注意：,当被积函数为,积分区域是圆或,圆的一部分时，在极坐标系下化为二次积分， 常可简化计算。,二重积分的应用,(1) 体积,设S曲面的方程为：,曲。</p><p>4、1 -,第一节 二重积分的概念和性质,一 二重积分的概念 二 二重积分的性质,- 2 -,一 二重积分的概念,1）曲顶柱体的体积,1 两个实例,解法: 类似定积分解决问题的思想:,给定曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面，,“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”,求其体积.,- 3 -,1)“大化小”,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2)“常代变”,在每个,3)“近似和”,则,中任取一点,小曲顶柱体,- 4 -,4)“取极限”,令,- 5 -,2）平面薄片的质量,有一个平面薄片, 在 xoy。</p><p>5、1 二重积分概念,二重积分是定积分在平面上的推广, 不 同之处在于: 定积分定义在区间上, 区间的 长度容易计算, 而二重积分定义在平面区 域上, 其面积的计算要复杂得多.,一、平面图形的面积,二、二重积分的定义及其存在性,三、二重积分的性质,一、平面图形的面积,我们首先定义平面图形的面积. 所谓一个平面图形,P 是有界的, 是指构成这个平面图形的点集是平面,上的有界点集, 即存在一矩形 R , 使得,设 P 是一平面有界图形, 用平行于二坐标轴的某一,组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T,将所有属于直线网的第,(i) 类小矩形(图 2。</p>