概率论第三章

概率论第三章Tag内容描述：<p>1、1. 二维随机变量的概念 2. 二维离散型随机变量 3. 二维连续型随机变量 4. 二维随机变量的分布函数 5. 小结 第一节 二维随机变量 图示 1.二维随机变量的概念 (1) 定义 实例1 炮弹的弹着点的 位置 ( X, Y ) 就是一个二维 随机变量. 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系. 实例2 考查某一地 区学前 儿童的发育情况 , 则儿童的 身高 H 和体重 W 就构成二 维随机变量 ( H, W ). 说明 2.二维离散型随机变量 (1) 定义 若二维随机变量 ( X, Y ) 所有可能取到的不 相同的数偶 是有限对或无限 可列。</p><p>2、概率论第三章习题参考解答1. 如果服从0-1分布, 又知取1的概率为它取0的概率的两倍, 求的期望值解：由习题二第2题算出的分布率为01P1/32/3因此有E=0P(=0)+1P(=1)=2/32. 矩形土地的长与宽为随机变量和, 周长=2+2, 与的分布律如下表所示:长度293031P0.30.50.2宽度192021P0.30.40.3而求出的周长的分布律如下表所示:周长9698100102104P0.090.270.350.230.06求周长的期望值, 用两种方法计算, 一种是利用矩形长与宽的期望计算, 另一种是利用周长的分布计算.解: 由长和宽的分布率可以算得E=29P(=29)+30P(=30)+31P(=31)=290.3+300.5+310.2=29。</p><p>3、9.以X记某医院一天出生的婴儿的个数，以Y记其中男婴的个数,设X和Y的联合分布律为 (1)求边缘分布律 (2)求条件分布律 (3)写出X=20时,Y的条件分布律,返回主目录,第三章 多维随机变量及其分布,解:,返回主目录,第三章 多维随机变量及其分布,返回主目录,第三章 多维随机变量及其分布,返回主目录,第三章 多维随机变量及其分布,返回主目录,第三章 多维随机变量及其分布,返回主目录,第三章 多维随机变量及其分布,11.设随机变量(X,Y)的联合概率密度为 (1)求常数c (5)求(X,Y)的联合分布函数.,返回主目录,第三章 多维随机变量及其分布,返回主目录,第三。</p><p>4、边缘分布,第三章,二、边缘分布律,一 、边缘分布函数,三、边缘概率密度,第二节,一、 边缘分布函数,的联合分布函数为,分别,的分布函数为,设,记,和,的边缘分布函数。,，称为关于,和,同理可得,研究问题：已知联合分布，怎样求 X,Y 的边缘分布。,边缘分布函数的计算：,解:,的边缘分布函数为,关于,同理，,二、 离散型随机变量的边缘分布律,设,的分布律为,则,关于,的边缘分布律为,记做,记做,同理,通常用以下表格表示,的分布律和边缘分布律,例,将骰子抛两次，X第一次出现的点数， Y第二次出现的点数，求（X , Y）的分布律。,解：,1 2 3 4 5 6,1 2 。</p><p>5、1,第三章 随机变量的数字特征,（一）基本内容,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,（二）作业题略解,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,解2,设Y 表示停车的次数,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,（三）其它习题略解:,5,19 帕斯克分布:设事件A在每次实验中发生的概率为 p，进 行重复独立实验，直至事件A发生r 次为止，需要进行的 实验总次数的概率分布:,解,X 表示直到事件A发生r 次需要进行的实验总次数，,表示直到事件A发生第1 次进行的实验次数，,表示事件A发生第i-1 次后到第i次发生时进行的实验次数，,则:,求: X 的期望与方差.,39。</p><p>6、习 题 课,第三章 多维随机变量及其分布, 1 二维随机变量 2 边缘分布 3 条件分布 4 相互独立的随机变量 5 两个随机变量的函数的分布,第三章 多维随机变量及其分布,1 要理解二维随机变量的分布函数的定义及性质。 2 要理解二维随机变量的边缘分布以及与联合分 布的关系，了解条件分布。 3 掌握二维均匀分布和二维正态分布。 4 要理解随机变量的独立性。 5 要会求二维随机变量的和及多维随机变量的最 值分布和函数的分布。,第三章 习题课,返回主目录,设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 S=e， 设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量。</p><p>7、解,且由乘法公式得,例1,( X, Y ) 所取的可能值是,解,抽取两支都是绿笔,抽取一支绿笔,一支红笔,故所求分布律为,例3 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2, 从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每 次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X, Y 分 别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 , 求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数.,解,易得 ( X , Y ) 的分布律为,下面求分布函数.,所以( X ,Y ) 的分布函数为,离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为,例4,解,(2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标,即有,例5 已知随机变量 ( X , Y ) 在 D。</p><p>8、二维 r.v 的联合分布函数：,两个一维 r.v 的分布函数：,定义,r.v的边缘分布完全由它们的联合分布确定,结论：,设 的分布律为,则 的分布律是,同理 的分布律是,定义,两重含义,它是一维r.v的分布律,它可通过二维r.v的分布律计算得到,解,设 从 四个数中等可能取值,又设 从 中等可能取值.求 的联合分布律及边缘分布律.,例,取值为,.由乘法公式有,值为,故 的联合分布律为,故边缘分布律为,X , Y 的分布律位于联合分布律表格的边缘上，故称为边缘分布律,设 的分布函数和密度函数分别为,则 的分布函数为,故 的密度函数为,同理 的分布函数为,的密度函。</p><p>9、1,第三章 多维随机变量及其分布, 1 多维随机变量的概念 2 随机变量的独立性 3 两个随机变量的函数的分布,2,从本讲起，我们开始第三章的学习.,一维随机变量及其分布,多维随机变量及其分布,它是第二章内容的推广.,3,到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.,在打靶时,命中点的位置是由一对r .v (两个坐标)来确定的.,飞机的重心在空中的位置是由三个r .v (三个坐标)来确定的等等.,4,设,是定义在 上的随机变量,由它们构成的一个 维向,量.,以下重点讨论二维随机变量.。</p><p>10、1 二维随机变量 2 边缘分布 3 条件分布 4 相互独立的随机变量 5 两个随机变量的函数的分布,第三章 多维随机变量及其分布,退 出,前一页,后一页,目 录,1 二 维 随 机 变 量,二维随机变量 联合分布函数 联合分布律 联合概率密度,第三章 多维随机变量及其分布,退 出,前一页,后一页,目 录,1）定义： 设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 S=e,设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量。由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机向量，或二维随机变量。,一、二维随机变量,1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,退 出,前一页,后一。</p><p>11、一、随机变量的相互独立性,随机变量的独立性是概率论中的一 个重要概念.,两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 ., 3.4 随机变量的独立性,定义,设X, Y是两个随机变量，若对任意的x, y,有,则称X,Y 相互独立 .,它表明，两个随机变量相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .,也可以用分布函数表示.,若 (X,Y)是离散型随机变量，则上述独立性的定义等价于：,则称X 和Y 相互独立.,对(X,Y)的所有可能取值(xi , yj ),有,二、离散型随机变量的独立性,即,其中f (x,y)是X,Y的联合密度，,成立，则称X,Y相互。</p><p>12、一、离散型随机变量的条件分布,二、连续型随机变量的条件分布,三、小结,第三节 条件分布,问题,一、离散型随机变量的条件分布,定义,例1,解,由上述分布律的表格可得,例2 一射手进行射击,击中目标的概率为p(0p1), 射击到击中目标两次为止.设以X 表示首次击中目 标所进行的射击次数, 以Y 表示总共进行的的射击 次数.试求 X 和 Y 的联合分布律及条件分布律.,解,现在求条件分布律,由于,定义,二、连续型随机变量的条件分布,答,请同学们思考,说明,联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下,联合分布,条件分布函数与条件密度函数的关系,解,例3,又知。</p><p>13、一个半径为2米的圆盘靶子,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,且射击都能中靶,记表示弹着点与圆心的距离.求的分布函数.,例,其中,其它,由本章3的例求得r.vX的分布函数是,这是一种特殊类型的随机。</p><p>14、第三章 多维随机变量及其分布,问题的提出 例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高H的分布或仅研究体重W的分布显然是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。 例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们也是定义在同一样本空间的两个随机变量。,一、概念,1 二维随机变量,定。</p>