高等数学-幂级数

高等数学-幂级数Tag内容描述：<p>1、第三节,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,幂级数,第十二章,一、函数项级数的概念,设,对,若常数项级数,敛点,若常数项级数,为定义在区间I上的函数列,称,收敛,发散,所有,为其,发散点的全体称为其,收,发散域.,若用,令余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前n项的和,即,在收敛域上,函数项级数的和是x的函数,称它,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是,注记。</p><p>2、第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,第十二章,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为,则在,复习:,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,该邻域内有 :,拉格朗日余项 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,麦克劳林级数 .,定理1,各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f (x) 的泰勒公式余项满足:,。</p><p>3、1,第三节,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,幂级数,2,一、函数项级数的一般概念,1.定义:,3,2.收敛点与收敛域:,4,函数项级数的部分和,余项,(x在收敛域上),注意,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,3.和函数:,(定义域是?),5,例如, 等比级数,它的收敛域是,它的发散域是,或写作,有和函数,6,7,8,解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛.,9,原级数发散.,收敛;,发散;,10,定义:,二、幂级数及其收敛性,下面着重讨论,的情形, 即,11,证明,12,13,由(1)结论,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,14,推。</p><p>4、第三节 一 函数项级数的概念 二 幂级数及其收敛性 三 幂级数的运算 幂级数 机动目录上页下页返回结束 第十一章 一 函数项级数的概念 设 为定义在区间I上的函数项级数 对 若常数项级数 敛点 所有收敛点的全体称为其。</p><p>5、2020/5/3,同济版高等数学课件,第三节,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,幂级数,第十二章,2020/5/3,同济版高等数学课件,一、函数项级数的概念,设,为定义在区间I上的函数项级数.,对,若常数项级数,敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;,若常数项级数,为定义在区间I上的函数,称,收敛,发散,所有,为其收,为其发散点,发散点的全体称为其发散域.,20。</p><p>6、2019年5月22日星期三,1,第三节 幂级数,第十章,（Power Series）,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,四、小结与思考练习,2019年5月22日星期三,2,一、函数项级数的概念,设,为定义在区间 I 上的函数项级数 .,对,若常数项级数,敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域 ;,若常数项级数,为定义在区间 I 上的函数, 称,收敛,发散 ,所有,为其收,为其发散点,发散点的全体称为其发散域 .,2019年5月22日星期三,3,为级数的和函数 , 并写成,若用,令余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前 n 项的和, 即,在收敛域上, 函数项级数的和。</p><p>7、第五节,一、近似计算,二、欧拉公式,函数幂级数展开式的应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章,一、近似计算,例1. 计算,的近似值, 精确到,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算,的近似值 ,使准确到,解: 已知,故,令,得,于是有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在上述展开式中取前四项,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 在展开式,中,令,得,具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如,( n为自然数) ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 利用,求,误差.,解: 先把角度化为弧度,(弧度),误差不超过,的近似值 , 并估计,机动 目录 。</p><p>8、第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内。</p><p>9、第三节 一 函数项级数的概念 二 幂级数及其收敛性 三 幂级数的运算 幂级数 机动目录上页下页返回结束 第十一章 一 函数项级数的概念 设 为定义在区间I上的函数项级数 对 若常数项级数 敛点 所有收敛点的全体称为其收敛域 若常数项级数 为定义在区间I上的函数 称 收敛 发散 所有 为其收 为其发散点 发散点的全体称为其发散域 机动目录上页下页返回结束 为级数的和函数 并写成 若用 令余项 则在。</p><p>10、目录 上页 下页 返回 结束 第五节 一、近似计算 二、微分方程的幂级数解法 函数幂级数展开式的应用 第十二章 三、欧拉公式 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 一、近似计算 例1. 计算的近似值, 精确到 解: Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 计算的近似值 ,使准确到 解: 已知 故 令得于是有 用此式求 ln2 计算量大 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 在上述展开式中取前四项, Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 在展开式 中,令得 具此递推公式可求出任意正整数的。</p><p>11、2020 3 25 高等数学课件 第二 三节 二 收敛半径与收敛区间 三 幂级数的运算及求和 函数项级数和幂级数 机动目录上页下页返回结束 第十二章 一 函数项级数的概念 2020 3 25 高等数学课件 一 函数项级数的概念 设 为定义在区间I上的函数项级数 对 若常数项级数 敛点 所有收敛点的全体称为其收敛域 若常数项级数 为定义在区间I上的函数 称 收敛 发散 所有 为其收 为其发散点 发散。</p><p>12、第三节,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,幂级数,第十二章,一、函数项级数的概念,设,为定义在区间I上的函数项无穷级数，简称（函数项）级数.,对,若常数项级数,敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;,若常数项级数,为定义在区间I上的函数,称,收敛,发散,所有,为其收,为其发散点,发散点的全体称为其发散域.,在收敛域上,对应于任意x，函数项级数成为一收敛的常数项级数。</p><p>13、第四讲幂级数,幂级数,一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算,幂级数,一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算,函数项级数的概念,函数项级数的收敛点和发散点,对于定义在区间I上的函数列,对于每一个确定的值函数项级数成为常数项级数,函数项级数的和函数,注,和函数的定义域即为收敛域.,函数项级数的余项,注,函数项级数的所有收敛点的全体称为其收敛域,函数项级数。</p><p>14、第五节 一 近似计算 二 欧拉公式 函数幂级数展开式的应用 机动目录上页下页返回结束 第十一章 一 近似计算 例1 计算 的近似值 精确到 解 机动目录上页下页返回结束 例2 计算 的近似值 使准确到 解 已知 故 令 得 于是有 机动目录上页下页返回结束 在上述展开式中取前四项 机动目录上页下页返回结束 说明 在展开式 中 令 得 具此递推公式可求出任意正整数的对数 如 n为自然数 机动目录上。</p>