高等数学第七

高等数学第七Tag内容描述：<p>1、高等数学课后习题及参考答案（第七章）习题7-11. 设u=a-b+2c, v=-a+3b-c. 试用a、b、c表示2u-3v . 解 2u-3v =2(a-b+2c)-3(-a+3b-c)=2a-2b+4c+3a-9b+3c=5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分, 试用向量证明这是平行四边形. 证 ; , 而 , , 所以 . 这说明四边形ABCD的对边AB=CD且AB/CD, 从而四边形ABCD是平行四边形. 3. 把DABC的BC边五等分, 设分点依次为D1、D2、D3、D4, 再把各分点与点A连接. 试以、表示向量、. 解 , , , . 4. 已知两点M1(0, 1, 2)和M2(1, -1, 0). 试用坐标表示式表示向量及. 解 , . 5. 求平行于向量a=(6, 7。</p><p>2、下页 上页下页首页 规定： 一、弧微分 上页下页首页 单调增函数 如图， 弧微分公式 上页下页首页 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。 ) ) 弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 1.曲率的定义 ) 二、曲率及其计算公式 上页下页首页 ) y xo （ 设曲线C是光滑的， 定义 曲线C在点M处的曲率 上页下页首页 2.曲率的计算公式 注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大. 上页下页首页 上页下页首页 例1 解 显然, 上页下页首页 点击图片任意处播放暂停 例2 上页下页首页。</p><p>3、一、无穷小的比较,二、等价无穷小的替换,三、小 结,第七节 无穷小的比较,一、无穷小的比较,例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,定义:,例如,例1,解,例2,证,必要性,充分性,定理1,意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式,例如,常用等价无穷小:,二、等价无穷小代换,定理(等价无穷小代换定理),证,例2,解,若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子的乘积作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限,不能滥用等价无穷小代换.,切记，只可对函数中的乘积因子作等价无穷小。</p><p>4、第二节,数量积与向量积,实例,一、两向量的数量积,启示,两向量作这样的运算, 结果是一个数量.,定义,数量积也称为“点积”、“内积”.,两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.,结论,由数量积的定义可推出：,证,证,数量积符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）分配律：,（3）结合律,若 为数：,若 、 为数：,设,数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为,解,例1 已知,求（1）,（2）,与,的夹角；,在,上的投影.,（3）,证,与向量,例2 证明向量,垂直.,实例,二、两。</p><p>5、一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,第七节,空间曲线及其方程,空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,空间曲线的一般方程,曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在,特点：,一、空间曲线的一般方程,曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.,例1 方程组 表示怎样的曲线？,解,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆.,例2 方程组 表示怎样的曲线？,解,上半球面,圆柱面,交线如图.,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上的动点坐标 x, y, z 表示成参数t 的函数:,称它为空间曲线的参数方程.,经过 t 时间 , 。</p><p>6、1 -,第一节 向量的概念与线性运算,一 向量的概念 二 向量的线性运算,- 2 -,一 向量的概念,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模长为1的向量.,零向量：,模长为0的向量.,向量的模：,向量的大小.,单位向量：,或,或,或,规定零向量的方向是任意的。,- 3 -,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,- 4 -,二 向量的线性运算,1 加法,平行四边形法则,特殊地：若,分为同向和反向,三角形法则,- 5 -,向量的加法符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,（3）,2 减。</p><p>7、如果一非零向量垂直于一平面 这向量就叫做该平面的法线向量 法线向量的特征 一 平面的点法式方程 平面的法向量不唯一 平面的法向量垂直于平面内的任一向量 设平面上的任一点为 必有 平面的点法式方程 解 所求平面方程为 化简得 取法向量 化简得 所求平面方程为 解 由平面的点法式方程 二 平面的一般方程 是关于的三元一次方程 反过来 设有三元一次方程 该方程的一组数 则 两式相减即得 该方程恰为平面。</p>