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文档简介

,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,第七节,空间曲线及其方程,空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,空间曲线的一般方程,曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在,特点：,一、空间曲线的一般方程,曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.,例1 方程组 表示怎样的曲线？,解,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆.,例2 方程组 表示怎样的曲线？,解,上半球面,圆柱面,交线如图.,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上的动点坐标 x, y, z 表示成参数t 的函数:,称它为空间曲线的参数方程.,经过 t 时间 , 运动到 M 点,螺旋线的参数方程,取时间 t 为参数 , 动点从 A 点出发,解,螺旋线的参数方程还可以写为,上升的高度与转过的角度成正比,上升高度, 称为螺距 .,例4 将方程组化成参数方程,解,第二个方程可看作 xoy 平面上的圆，可取圆心角 为参数，则有, 带入球面方程得,例. 将曲线 化为参数方程,解:,根据第一方程引入参数 ,得,已知空间曲线C和平面，从C上各点向平面做垂线，垂足所构成的曲线C称为曲线C在平面上的投影曲线。,三、空间曲线在坐标面上的投影,准线为曲线C而母线垂直于的柱面称为曲线C关于平面的投影柱面.,以C为准线，垂直于所投影的坐标面.,投影柱面的特征：,如图:投影曲线的研究过程.,空间曲线,投影曲线,投影柱面,设空间曲线 C 的一般方程为,消去 z ,得曲线C关于xoy面的投影柱面,则C 在xoy 面上的投影曲线 C为,投影曲线的方程,空间曲线在 面上的投影曲线,曲线C在xoy面的投影,类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影,面上的投影曲线,面上的投影曲线,曲线的一般方程中消去x得投影柱面方程,曲线的一般方程中消去y得投影柱面方程,例5,解,先求投影柱面，即要消去z,两方程相减得,带入方程1得柱面方程为,则投影曲线方程为,在xoy 面上的投影曲线方程为,又如,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:,上半球面,和锥面,在 xoy 面上的投影曲线,二者交线,所围圆域:,二者交线在,xoy 面上的投影曲线所围区域 .,补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.,空间立体,曲面,空间曲线的一般方程、参数方程,四、小结,空间曲线在坐标面上的投
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