高等数学方明亮

高等数学方明亮Tag内容描述：<p>1、习 题 1-11求下列函数的自然定义域：（1）； 解：依题意有，则函数定义域（2）；解：依题意有，则函数定义域（3）；解：依题意有，则函数定义域（4）；解：依题意有，则函数定义域（5） 解：依题意有定义域（6）.解：依题意有，则函数定义域2已知定义域为，求()的定义域解：因为定义域为，所以当时，得函数的定义域为；当时，得函数定义域为；当时，得函数定义域为；当时，得函数定义域为：（1）若，；（2）若，；（3）若，3设其中求函数值解：因为，则，4设，求与，并做出函数图形解：，即，即，函数图形略5设试证：证明：，即，得证6下。</p><p>2、返回上页页下页页目录录 第五节 定积分的元素法及其应 用 第五章 （Element Method of Definite Integral and Its Applications） 二、定积分在几何学上的应用 一、定积分的元素法 三、定积分在物理学上的应用 四、思考与练习 Date1 返回上页页下页页目录录 三、定积分在物理学上的应用 1. 变力沿直线所作的功 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 . 在其上所作的功元 素为 因此变力F(x) 在区间 上所作的功为 Date2 返回上页页下页页目录录 （k为比例系数） Date3 返回上页页下页页。</p><p>3、2019年5月7日星期二,1,高等数学多媒体课件,牛顿（Newton）,莱布尼兹（Leibniz）,2019年5月7日星期二,2,第一章 函数与极限,高等数学基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,2019年5月7日星期二,3,第一节 函 数,二、区间和邻域,一、集 合,三、函数的概念,四、函数的几种特性,五、反函数与复合函数,六、初等函数,(Function),2019年5月7日星期二,4,一、集 合(Set),1. 元素与集合,具有某种特定性质的事物的总体称为一个集合.,组成集合的事物称为元素.,注1:,集合通常用大写的英文字母,表示,其元素则用小写的英文字母,表示,注2:,元素。</p><p>4、2019年5月7日星期二,1,第二节 二重积分的计算方法,第八章,(Calculation of Double Integral),一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,三、小结与思考练习,2019年5月7日星期二,2,一、利用直角坐标计算二重积分,曲顶柱体的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,设曲顶柱体的顶为,X型区域,2019年5月7日星期二,3,同样, 若曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,Y型区域,2019年5月7日星期二,4,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域 。</p><p>5、2019年5月7日星期二,1,高等数学多媒体课件,牛顿（Newton）,莱布尼兹（Leibniz）,2019年5月7日星期二,2,第七章 多元函数微分法及其应用,推广,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,2019年5月7日星期二,3,主 要 内 容,第一节 多元函数的基本概念,第二节 偏导数,第三节 全微分,第四节 多元复合函数的求导法则,第五节 隐函数的求导公式,第六节 多元微分学在几何上的应用,第七节 方向导数与梯度,第八节 多元函数的极值及其求法,2019年5月7日星期二,4,第一节 多元函数的基本概念,第七章,(Conception of functions of several。</p><p>6、2019年5月22日星期三,1,高等数学多媒体课件,牛顿（Newton）,莱布尼兹（Leibniz）,2019年5月22日星期三,2,微分法:,积分法:,互逆运算,第四章 不定积分,（Indefinite Integrals）,2019年5月22日星期三,3,主 要 内 容,第一节 不定积分的概念与性质,第二节 换元积分法,第三节 分部积分法,第四节 几种特殊类型函数的积分,第五节 积分表的使用,2019年5月22日星期三,4,第一节 不定积分的概念与性质,第四章,一、原函数与不定积分的概念,二、基本积分表,（Conceptions and properties of Indefinite Integrals）,三、不定积分的性质,四、小结与思考。</p><p>7、2019年5月22日星期三,1,第四节 空间曲线及其方程,第六章,（Space Curve and Its Equations),四、空间曲线在坐标面上的投影,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、曲面的参数方程,五、小结与思考练习,2019年5月22日星期三,2,一、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线 C.,(General Equation of Space Curve),2019年5月22日星期三,3,表示上半球面与圆柱面的交线C.,又如,方程组,2019年5月22日星期三,4,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上的动点坐标x, y, z表示。</p><p>8、2019年5月22日星期三,1,第六节 空间直线及其方程,第六章,( Space Straight Line and Its Equation),四、直线与平面的夹角,一、空间直线方程的一般方程,二、空间直线方程的对称式方程和参数方程,三、两直线的夹角,五、平面束,六、小结与思考练习,2019年5月22日星期三,2,因此其一般式方程,(General Equation of a Space Straight Line),直线可视为两平面交线，,(不唯一),一、空间直线方程的一般方程,2019年5月22日星期三,3,(Symmetric Expression),1. 对称式方程（点向式方程),故有,说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.,设直线上的动点。</p><p>9、2019年5月22日星期三,1,第五节 隐函数的求导公式,第七章,(Derivation of Implicit Function),一、一个方程的情形,二、方程组的情形,三、小结与思考练习,2019年5月22日星期三,2,本节讨论 :,1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .,例如, 方程,当 C 0 时, 能确定隐函数;,当 C 0 时, 不能确定隐函数;,2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性,及求导方法问题 .,2019年5月22日星期三,3,一、一个方程的情形,定理1 设函数,则方程,单值连续函数 y = f (x) ,并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：, 具有连续的偏导。</p><p>10、2019年5月22日星期三,1,第六节 多元微分学在几何上的应用,第七章,(Applications of differential calculus in geometry),一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面与法线,三、小结与思考练习,2019年5月22日星期三,2,复习: 平面曲线的切线与法线,已知平面光滑曲线,切线方程,法线方程,若平面光滑曲线方程为,故在点,切线方程,法线方程,在点,有,有,因,2019年5月22日星期三,3,一、空间曲线的切线与法平面,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法,位置.,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限,平面.,点击看动画,(Tangent and n。</p><p>11、2019年6月5日星期三,1,第五节 隐函数的求导公式,第七章,(Derivation of Implicit Function),一、一个方程的情形,二、方程组的情形,三、小结与思考练习,2019年6月5日星期三,2,本节讨论 :,1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .,例如, 方程,当 C 0 时, 能确定隐函数;,当 C 0 时, 不能确定隐函数;,2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性,及求导方法问题 .,2019年6月5日星期三,3,一、一个方程的情形,定理1 设函数,则方程,单值连续函数 y = f (x) ,并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：, 具有连续的偏导数;,。</p><p>12、2019年6月5日星期三,1,第五节 平面及其方程,第六章,（The Planes and Its Equations),四、小结与思考练习,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,2019年6月5日星期三,2,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,(The Point-Normal Form Equations of a Plane),2019年6月5日星期三,3,即,解: 取该平面 的法向量为,的平面 的方程. (自学课本 例2）,利用点法式得平面 的方程,例1 求过三点,2019年6月5日星期三,4,此平面的三点式方程也可写成,。</p><p>13、2019年6月18日星期二,1,第五节 函数的极值与最大值、最小值,第三章,四、最值问题,三、极值的第二充分条件,二、极值的第一充分条件,（Extremum & Extremes of Function）,一、复习引入,五、小结与思考练习,2019年6月18日星期二,2,（Introduction）,一、复习引入,2019年6月18日星期二,3,2019年6月18日星期二,4,二、第一充分条件,（The First Sufficient Condition）,（极小值）,2019年6月18日星期二,5,（是极值点情形）,（不是极值点情形）,2019年6月18日星期二,6,2019年6月18日星期二,7,根据上述讨论，,2019年6月18日星期二,8,提示：,答案。</p><p>14、2019年6月29日星期六,1,第三节 曲面及其方程,第六章,（Surface and Its Equation）,四、二次曲面,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱 面,五、小结与思考练习,2019年6月29日星期六,2,一、曲面方程的概念,求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.,引例:,1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程.,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程.,（Equations for a Surface),2019年6月29日星期六,3,如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:,(1) 曲。</p><p>15、2019年6月29日星期六,1,复习引入,(Introduction),在上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质”,给出了“基本积分公式表” 。,但是，,对于形如,这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表,我们就无能为力了。,为此，,2019年6月29日星期六,2,第二节 换元积分法(1),第四章,一、第一类换元积分法,二、第二类换元积分法,（Integration by Substitution）,三、小结与思考题,2019年6月29日星期六,3,第二类换元法,第一类换元法,设,可导,则有,基本思路,2019年6月29日星期六,4,一、第一类换元积分法,定理1,则有换元,公式,(也称配元法, 凑。</p><p>16、2019年6月29日星期六,1,第五节 积分表的使用,第四章,积分计算比导数计算灵活复杂,为提高求积分,已把常用积分公式汇集成表, 以备查用.,见课本附录.,积分表的结构: 按被积函数类型排列,积分表的使用:,1) 注意公式的条件,2) 注意简单变形的技巧,的效率,注: 很多不定积分也可通过 Mathematica , Maple,等数学软件的符号演算功能求得 .,2019年6月29日星期六,2,2019年6月29日星期六,3,2019年6月29日星期六,4,2019年6月29日星期六,5,2019年6月29日星期六,6,本节小结。</p><p>17、2019年6月29日星期六,1,新课引入,前面讨论的定积分，,都是在有限区间上的有界函数,这类积分属于通常意义下的积分.,的积分，,但在实际问题中，,还会遇到积分区间为无限,或被积,函数在积分区间上是无界的情况，,这就需将定积分的概念推广，,推广后的积分被称为,广义积分.,常义积分,积分限有限,被积函数有界,推广,无穷限的广义积分,无界函数的广义积分,2019年6月29日星期六,2,第四节 广义积分,第五章,（Improper Integrals),二、无界函数的广义积分,一、无穷限的广义积分,三、思考与练习,2019年6月29日星期六,3,一、无穷限（Infinite Interva。</p><p>18、2019年6月29日星期六,1,第五节 定积分的元素法及其应用,第五章,（Element Method of Definite Integral and Its Applications）,二、定积分在几何学上的应用,一、定积分的元素法,三、定积分在物理学上的应用,四、思考与练习,2019年6月29日星期六,2,一、定积分的元素法,1. 什么问题可以用定积分解决 ?,表示为,1) 所求量 U 是与区间a , b上的某分布 f (x) 有关的,2) U 对区间 a , b 具有可加性 ,即可通过,“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”,定积分定义,一个整体量 ;,2019年6月29日星期六,3,第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量。</p><p>19、第一章 函数与极限习题详解 第一章 函数与极限 习 题 1 1 1 求下列函数的自然定义域 1 解 依题意有 则函数定义域 2 解 依题意有 则函数定义域 3 解 依题意有 则函数定义域 4 解 依题意有 则函数定义域 5 解 依题意有。</p>