高等数学方明亮版课件1.1函数.ppt

2019年5月7日星期二,1,高等数学多媒体课件,牛顿（Newton）,莱布尼兹（Leibniz）,2019年5月7日星期二,2,第一章 函数与极限,高等数学基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,2019年5月7日星期二,3,第一节 函 数,二、区间和邻域,一、集 合,三、函数的概念,四、函数的几种特性,五、反函数与复合函数,六、初等函数,(Function),2019年5月7日星期二,4,一、集 合(Set),1. 元素与集合,具有某种特定性质的事物的总体称为一个集合.,组成集合的事物称为元素.,注1:,集合通常用大写的英文字母,表示,其元素则用小写的英文字母,表示,注2:,元素 a 属于集合 A , 记作,元素 a 不属于集合 A , 记作,注3:,含有有限个元素的集合称为有限集；,不是有限集的集合称为无限集.,2019年5月7日星期二,5,注4:,不含任何元素的集合称为空集，,记作,注5:,对于数集，习惯上有如下记号,全体自然数的集合记作,全体整数的集合记作,全体有理数的集合记作,全体实数的集合记作,注6: M 为数集,表示 M 中排除 0 的集 ;,表示 M 中排除 0 与负数的集 .,2019年5月7日星期二,6,2. 集合之间的关系,的子集 , 或称 B 包含 A ,则称 A是 B 的,若,且,则称 A 与 B 相等,若,设有集合,记作,记作,必有,若,且,则称 A 是 B 的真子集.,记作,显然有下列关系 :,2019年5月7日星期二,7,3. 集合的运算,并集,交集,且,差集,且,定义下列运算:,有时我们所研究的集合A，B都是,或,给定两个集合 A 和 B ，,集合的I 子集，此时，称集合为全集,或基本集，,称I A 为的余集或补集，,记作,2019年5月7日星期二,8,4. 集合的运算规律,设A 、B 、C 为任意3个集合，则集合的交、并、余运算满足下列运算规律：,交换律,结合律,分配律,对偶律,2019年5月7日星期二,9,二、区间和邻域 (Interval and Neighborhood ),1. 区 间,开区间,闭区间,2019年5月7日星期二,10,左闭右开区间,左开右闭区间,无穷区间,注:,两端点间的距离称为区间的长度.,2019年5月7日星期二,11,2.邻 域,显然，,2019年5月7日星期二,12,2019年5月7日星期二,13,三、函数的概念,1. 函数的定义,2019年5月7日星期二,14,2. 单值函数与多值函数,注意：,2019年5月7日星期二,15,3. 函数的三要素,函数的三要素是,（1）定义域D,（2）对应法则 f,（3）值域R,其中，定义域与对应法则决定了值域.,为此，如果两个函数的定义域和对应法则都相同，,则为同一函数，,否则，就是不同的函数.,例如，,2019年5月7日星期二,16,4. 函数的定义域,2019年5月7日星期二,17,解析法,、图象法,、列表法,5. 函数的表示方法,常见的函数有我们中学数学里学过的常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等.,下面再举几个函数的例子：,例1 取整函数,2019年5月7日星期二,18,例2 符号函数,而不是几个函数。,2019年5月7日星期二,19,例3（补充题）,某市出租车的乘车费按如下规定收取：,（1）若乘车路程在3公里内，则车费为7元；,（2）若乘车路程超过3公里，那么超过部分的车费按每公里1.5元计算.,请写出出租车的乘车费y（元）与路程x（公里）之间的函数关系，,并分别求出乘车路程为2.5公里和13公里所需要的车费。,解：,出租车的乘车费y与路程x之间的函数关系为,当 时，,当 时，,故乘车路程为2.5公里和13公里所需要的车费分别为7元和22元.,2019年5月7日星期二,20,四、函数的几种特性,1. 函数的单调性(Monotonicity),设函数,且有区间,时,称,为 I 上的,单调增函数 ;,称,为 I 上的,单调减函数 .,2019年5月7日星期二,21,2. 函数的奇偶性(Odd and Even),设函数,且有,若,则称 f (x) 为偶函数;,若,则称 f (x) 为奇函数.,说明: 若,在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当,必有,例如,偶函数,双曲余弦,记,2019年5月7日星期二,22,奇函数,双曲正弦,记,再如,奇函数,双曲正切,记,又如,2019年5月7日星期二,23,3. 函数的有界性(Boundedness),2019年5月7日星期二,24,2019年5月7日星期二,25,4. 函数的周期性(Periodicity),周期为 ,周期为,2019年5月7日星期二,26,例4 狄利克雷（Dirichlet）函数,x 为有理数,x 为无理数,2019年5月7日星期二,27,五、反函数与复合函数,1. 反函数(Inverse Functions),其反函数,(减),(减) .,1) yf (x) 单调递增,且也单调递增,性质:,2019年5月7日星期二,28,2) 函数,与其反函数,的图形关于直线,对称 .,例如 ,对数函数,互为反函数 ,它们都单调递增,指数函数,2019年5月7日星期二,29,2. 复合函数 (Composite Functions),注1: 因为构成复合函数的条件,是不可少的，,2019年5月7日星期二,30,例如,函数链,函数,可定义复合,但函数链,不能构成复合函数 .,注2:,两个以上函数也可构成复合函数.,例如,可定义复合函数:,2019年5月7日星期二,31,六、初等函数(Elementary Functions),1. 基本初等函数(Basic Elementary Functions),（1）常数函数(Constant Function),（2）幂函数(Power Function),（3）指数函数(Exponential Function),（4）对数函数(Logarithmic Function),（5）三角函数(Trigonometric Function),（6）反三角函数(Anti-Trigonometric Function),以上列举的6类函数统称为基本初等函数,2019年5月7日星期二,32,2. 反三角函数,( 自学 课本相关内容 ),2019年5月7日星期二,33,3. 初等函数(Elementary Functions),由基本初等函数,否则，,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步骤所,构成 ,称为初等函数 .,称为非初等函数 .,例如 ,双曲函数与反双曲函数都是初等函数 .,但是 ,前面所学的取整函数、取整函数以及狄利克雷,函数都不是初等函数。,是不是初等函数 ？,因,可表为,故是初等函数.,2019年5月7日星期二,34,内容小结,1、集合的概念及其运算,2、区间与邻域的概念,3. 函数的定义及函数的三要素,（1）定义域D,（2）对应法则 f,（3）值域R,4. 函数的特性,单调性, 奇偶性, 有界性, 周期性,5. 反函数与复合函数的概念,6. 初等函数的结构,2019年5月7日星期二,35,课后练习,习 题 1-1 1（2）（3）（6） 2 5 6（2）（4） 7（1） 8（1）（4） 9 10 11（2）（4） 12（2）（4） 13（1） 15,思考与练习,（本章复习题B 填空题 1）,2019年5月7日星期二,36,2. 下列函数是由哪些函数复合而成的？,解:,（