高等数学教学资料

高等数学教学资料Tag内容描述：<p>1、实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,一、问题的提出,讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题,二、方向导数的定义。</p><p>2、一、函数项级数和一致收敛二.复函数项级数的性质,4函数项级数,一、函数项级数和一致收敛,1.一些基本概念,注意:,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛.,原级数发散.,收敛;,发散;,2.一致收敛,定理1(Cauchy准则),定理2(Weierstrass判别法),解:,二.复函数项级数的性质,定理3,定理4,定理5,定理6,解:,由定理。</p><p>3、4幅角原理和Rouche定理,一、对数留数,定理1:,证明:,例1:,解:,二、幅角原理,定理2(幅角原理):,三、Rouche定理,定理(Rouche定理):,证明：,注记：,例4:,解:,证明:,例5。</p><p>4、第四章不定积分,例,定义：,一、原函数与不定积分的概念,原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数.,问题：,(1)原函数是否唯一？,例,（为任意常数）,(2)若不唯一它们之间有什么联系？,关于原函数的说明：,（1）若，则对于任意常数，,（2）若和都是的原函数，,则,（为任意常数）,证,（为任意常数）,不定积分的定义：,例1求,解,解,例2求,例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜。</p><p>5、第十一章无穷级数,练习1：判断下列级数的收敛性。,练习2：讨论下列级数是否收敛，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？,练习3：,练习4：,练习5：将下列函数展开成的幂级数,练习6：将下列函数在指定区域内展开为Laurent级数。</p><p>6、一、函数项级数和一致收敛 二. 复函数项级数的性质,4 函数项级数,一、函数项级数和一致收敛,1.一些基本概念,注意:,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛.,原级数发散.,收敛;,发散;,2. 一致收敛,定理1(Cauchy准则),定理2(Weierstrass判别法),解:,二. 复函数项级数的性质,定理3,定理4,定理5,定理6,解:,由定理6得,解法1:,由定理5得,解法2。</p><p>7、第十二章 留 数,一、孤立奇点 二、留数与留数定理 三、留数在计算积分的应用 四、幅角原理和Rouche定理,1 孤立奇点,一、孤立奇点及其分类 1、孤立奇点的定义：,1）可去奇点,例1：,2）极点,例2：,定理1：,3）本性奇点,例3：,二、解析函数在孤立奇点处的极限形态,三、解析函数的零点与极点的关系 1、零点的定义,2、定理3,证明：,例4：,解：,定理4,证明：,例5：,解：,例6：,解：,四、函数在无穷远点的性态,定义：,规定。</p><p>8、第三节换元法 问题 解决方法 利用复合函数 设置中间变量 过程 令 一 第一类换元法 在一般情况下 由此可得换元法定理 第一类换元公式 凑微分法 说明 使用此公式的关键在于将 化为 观察重点不同 所得结论不同 定理1 例。</p><p>9、第七章多元函数微分学 1 邻域 一 多元函数的概念 2 区域 例如 即为开集 连通的开集称为区域或开区域 例如 例如 有界闭区域 无界开区域 例如 3 聚点 内点一定是聚点 说明 边界点可能是聚点 例 0 0 既是边界点也是聚点。</p><p>10、第十三章积分变换 2 Laplace变换的定义 定义 3 Laplace变换与Fourier变换的关系 三 Laplace逆变换 定理2 Laplace变换的性质 Laplace变换的若干基本性质线性性质位移性质延迟性质相似性质Laplace变换的微分性质与积分。</p><p>11、第五节Fourier变换与Laplace变换的应用 求解微分方程的积分变换法求解积分方程和卷积型方程利用积分变换计算积分值 一 求解微分方程的积分变换法 微分方程 积分变换 像函数代数方程 求解代数方程 像函数 原像 微分方。</p><p>12、第十三章积分变换 练习1 求下列函数的傅氏变换 练习2 求下列函数的傅氏逆变换 练习3 计算下列函数的卷积 2 Laplace变换的定义 定义 3 Laplace变换与Fourier变换的关系 三 Laplace逆变换 定理2 Laplace变换的性质 Lap。</p>