函数的极值与最

函数的极值与最Tag内容描述：<p>1、1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48。</p><p>2、3.3 函数的极值和最值 1 一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法 1.定义： 设在点 的某一邻域内的有定义。 如果 对于这邻域内异于的恒有 (1)则称为的极大值.-极大值点 (2)则称为的极小值.-极小值点 3.3 函数的极值最值 2 极值极值点 极大值点 极小值点 极大值 极小值 3.3 函数的极值最值 3 注1极值不一定是最值. 注2 函数的极大值和极小值是 局部性概念，极小值不一定比极大值小 极值点处的切线平行于轴, 但曲线上有水平 切线的点,不一定取得极值.如： 3.3 函数的极值最值 4 2. 2. 驻点驻点: :使使成立的点 定理设函数在点处有导数。</p><p>3、函数的极值 小结 思考题 作业 最大值最小值问题 3.3 函数的极值与最值 1 定义 极大值 (或极小值), 函数的极大值与极小值统称为极值. 极值点. 3.3.1 函数的极值 1. 函数极值的定义 使函数取得极值的点x0(自变量)称为 2 函数的极大值、极小值 是局部性的. 在一个区间内, 函数可能存在许多个极值, 最大值与最小值, 有的极小值可能大 于某个极大值. 只是一点附近的 3 定理3.5(必要条件) 注 如, (1)可导函数的极值点 驻点却不一定是极值点. 但函数的 2. 极值的必要条件 必是驻点, 极值, 4 极值点也可能是导数不存在的点. 如, 但 怎样从驻点中与。</p><p>4、函数的极值和最值及其应用摘要：数学应用是数学教学的一个重要的任务。论文将通过函数极值和函数最值的相关理论、区别、联系及极值最值的求解方法，系统的阐述函数极值最值，这一 重要而且基础的函数性质， 并让大家意识到部分极值最值问题是与实际问题有着 密不可分的关系。然后运用给出的函数极值和最值知识，解决生活实际中的应用问题。函数涉及的实际应用有： 1.极值理论在海事安全、保险业、金融风险管理等领域的应用。 2.最值在商业最大利润、税收额最大、最大期望、最优计划安排等问题中的 应用。在极值和最值的理论学习后，如何运。</p><p>5、函数的极大值与极小值 知识回顾： 一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可 导，则函数在该区间 如果f(x)0, 如果f(x)0,f (x)0,得函数单增区间得函数单增区间; ; 解不等式解不等式f(xf(x)0,)0,得函数单减区间得函数单减区间. . 当x=x0时时, f(x0)=0,且当xx0与xx0时 f(x0)异号，则则函数在该该点单调单调 性发发生改变变. 一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义， 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们 就说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)， x0是极大值点。 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小， 我们就说f。</p><p>6、第五节 函数的极值与最值,一、函数的极值,1.定义,如果存在,的一个去心邻域,对于该去心邻域,内的任一点,都有,成立,则称,是函数,的极大值,称,为函数,的极大值点.,(极小值),(极小值点),的极小值点:,的极大值点:,2.极值点的必要条件,定理1,若,在,处取得极值,且,在,处可导,则,证,不妨设,是极大值.,按定义,存在去心邻域,使得,对于任意,都有,即：,对于任意,都有,又,由费马引理得:,定义,若,则称,是函数,的驻点.,注:,由定理1得:,若,是函数,的极值点,则,或,不存在.,反之不然.,反例:,但,不是,的极值点.,但,不是,的极值点.,3.极值的判别法,定理2(第一。</p><p>7、第2课时导数与函数的极值、最值题型一用导数解决函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1(1)(2016绍兴模拟)设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是()(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案(1)C(2)D解析(1)由f(x)图象可知，x0是函数f(x)的极大值点，x2是f(x)的极小值点，故选C.(2)由题图。</p><p>8、函数的单调性 极值与最值,考试要求 1、掌握函数的单调区间、函数在开区间上的极值、闭区间上的最值的导数法及一般步骤； 2、会运用比较法确定函数的最值点。,第二节 导数与函数的单调性,基础知识梳理,1函数的单调性 函数f(x)在某个区间(a，b)内，若f(x)0，则f(x)为 若f(x)0，则f(x)为 ，若f(x)0，则f(x)为 2如果一个函数在某一范围内导数的绝对值 ，那么函数在这个范围内变化 ，这时，函数的图象就越“ ”,增函数,常数,减函数,越大,越快,陡峭,基础知识梳理,3利用导数判断函数单调性的一般步骤：(1)求f(x)；(2)在定义域内解不等式f(x)0和f(。</p><p>9、3.5 函数的极值与最大值最小值,一、函数的极值及其求法,二、最大值最小值问题,提问： f(a)和 f(b)是极值吗？,函数的极值,一、函数的极值及其求法,x1,x2,x3,x4,x5,函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.,观察与思考： 观察极值与切线的关系.,设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f (x0)0.,驻点 使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的实根)称为函数f(x)的驻点.,定理1(必要条件),讨论： 极值点是否一定是驻点？ 驻点是否一定是极值点？ 考察x=0是否是函数y=x3的驻点, 是否是函数的极值点.,设函数f(x)。</p><p>10、4 函数的极值与最大（小）值,首页,一 极值判别,二 最大值与最小值,一 极值判别,函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征.,费马定理（定理5.3）已经告诉我们，若函数 在点 可,导，且 为 的极值点，则 =0，这就是说可导函数在点 取极值的必要条件是 =0.,注 定理5.3说明可导函数的极值只能在其驻点 处取到，,即 是驻点只是可导函数 在点 取得极值的必要条件，而不是充分条件，如 ， 是其驻点，但并不是 的极值点.,首页,设 在点 连续，在某邻域 内可导.,（I）若当 时 ，当 时 ，则在点 取得极小值.,（II）。</p><p>11、第四讲 函数的极值与最值,内容提要 1.掌握求函数的极大值和极小值方法； 2.掌握求函数的最大值和最小值方法。 教学要求 掌握求函数的最大值和最小值方法并会熟练解较简单的最大值和最小值的应用问题。,一、极值的定义与必要条件,同样地,定义1,则称,则称,使函数取得极值的点称为,为了描述这种点的性质,引进函数极值的概念.,从图上还可以看出，,函数在极值点处，,曲线上的切线是水平的，,一般地，有下面的定理.,定理1,注意：,定理1的逆定理不成立.,例如,证明,则,说明：,对于连续函数,导数不存在的点也可能是函数,例如，,函数在定义域中的驻。</p><p>12、高二（9，10）班,注：极值点不一定是最值点，最值点若在区间内部必是极值点.,1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围为 .,(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4,1答案,3答案,(1)答案,(2)答案。</p><p>13、二、最大值与最小值问题,一、函数的极值及其求法,第五节,函数的极值与最值,第三章,函数的极值及其求法,由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论。,一、函数极值的定义,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,二、函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,注,这个结论又称为Fermat定理,如果一。</p><p>14、函数的极值,两边导数异号,两边导数同号,如何剔除导数为0却不是极值点的情况？,考察导数值为零的点及不可导点,问题,（1）极大值比极小值“大”吗？,（2）极大（小）值是否就是最大（小）值？,（3）从导数的角度看：极值点处有何特征？,（4）求极值的步骤如何？,函数的最值。</p><p>15、1,一、函数极值及求法,二、最值的求法,三、应用举例,四、小结及作业,2,一、函数极值及求法,3,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,4,5,定理1(必要条件),6,定理表明：,例如,7,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),8,求极值的步骤:,(不是极值点情形),9,例1,解,列表讨论,极大值,极小值,10,图形如下,11,例2. 求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,导数不存在的点,3) 列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,12,定理3(第二充分条件),证,13,例3,解,图形如下,14,注意:,15,16,17,1。</p><p>16、第四节 函数的极值和最值,本节内容提要:,一、极值及其求法 1.极值的定义 2.极值存在的必要条件和充分条件,二、最大值与最小值,本节重点: 极值的定义,极值存在的必要条件和充分条件,求极值的方法,求最值的方法 本节难点: 极值和最值的关系,极值点和驻点、不可导点之间的关系, 求极值和最值的方法 教学方法: 启发式 教学手段: 多媒体课件和面授讲解相结合 教学课时: 2课时,一、极值及其求法,1.极值的定义: 定义:设y=f(x)在 某一邻域内有定义,如果对于该邻域内异于 的任意点x都有: (1) f(x) f( ),则称f( )为f(x)的极小值, 称为f(x)的极小值点。</p><p>17、4.3 函数的极值和最值,函数极值的定义 函数极值的求法,一、函数极值的定义,极值是局部区域上的 最大或最小值； 在间断点或端点处不 考虑极值。,对连续函数， 极大、极小交替出现。,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,定义,二、函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,注:,例如,极值存在的必要条件,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),极值存在的充分条件,求极值的步骤:,(不是极值点情形),例1,解,列表讨论,极大值,极小值,图形如下,定理3(第二充分条件),证,例2,解,图形如下,注意:,例3,解,注意:函数的不可导点,也。</p><p>18、1,一、函数极值及求法,二、最值的求法,三、应用举例,四、小结及作业,2,一、函数极值及求法,3,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,4,5,定理1(必要条件),6,定理表明：,例如,7,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),8,求极值的步骤:,(不是极值点情形),9,例1,解,列表讨论,极大值,极小值,10,图形如下,11,例2. 求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,导数不存在的点,3) 列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,12,定理3(第二充分条件),证,13,例3,解,图形如下,14,注意:,15,16,17,1。</p><p>19、5 一元函数的极值与最值,目标,重点,明确极值点可能是哪些点；掌握极值存在的必要、充分条件；会求函数的极值。,讨论函数的单调性,难点,极值的应用,求函数的极值和最值,弄清极值和最值的区别与联系，掌握最值的两种特殊情况，会求函数的最值。,5 一元函数的极值与最值,一、函数的单调性,二、函数的极值,三、函数的最值,四、极值的应用,一、函数的单调性,一、函数的单调性,一、函数的单调性,一、函数的单调性,一、函数的单调性,一、函数的单调性,二、函数的极值,二、函数的极值,二、函数的极值,二、函数的极值,二、函数的极值,二、函数的极。</p><p>20、1,一、函数极值及求法,二、最值的求法,三、应用举例,四、小结及作业,2,一、函数极值及求法,3,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,4,5,定理1(必要条件),6,定理表明,例如,7,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),8,求极值的步骤,(不是极值点情形),9,例1,解,列表讨论,极大值,极小值,10,图形如下,11,例2 求函数,的极值 .,解,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,导数不存在的点,3) 列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,12,定理3(第二充分条件),证,13,例3,解,图形如下,14,注意,15,二、最值的求。</p>