《函数的极值与最值》PPT课件.ppt

函数的极值 小结 思考题 作业 最大值最小值问题 3.3 函数的极值与最值 1 定义 极大值 (或极小值), 函数的极大值与极小值统称为极值. 极值点. 3.3.1 函数的极值 1. 函数极值的定义 使函数取得极值的点x0(自变量)称为 2 函数的极大值、极小值 是局部性的. 在一个区间内, 函数可能存在许多个极值, 最大值与最小值, 有的极小值可能大 于某个极大值. 只是一点附近的 3 定理3.5(必要条件) 注 如, (1)可导函数的极值点 驻点却不一定是极值点. 但函数的 2. 极值的必要条件 必是驻点, 极值, 4 极值点也可能是导数不存在的点. 如, 但 怎样从驻点中与导数不存在的点判断一点 单减的分界点, (2) 不可导. 是极小值点. 是不是极值点 若 x0 是连续函数 f(x) 单增、 则 x0必为极值点. 几何上, 5 定理3.6(第一充分条件) 则 为极大值 则 不是极值. (极小值); 3. 极值的充分条件 .),( 0 o 0 内可导的某去心邻域 dxUx 6 一般求极值的步骤 求导数; 求驻点与不可导点; 求相应区间的导数符号,判别增减性; 求极值. (1) (2) (3) (4) 不是极值点 7 例 解(1) (2)驻点:导数不存在的点: 8 非极值 极小值 不存在 极大值 单调增加区间: 单调减少区间: (3)列表.求相应区间的导数符号,判别增减性, 确定极值点和极值. 9 解 因此 10 定理3.7(第二充分条件) 极大值(极小值). 当函数的二阶导数存在且不为零时，可 用二阶导数的正负号来判断极值点. 11 例 解 因为, 函数的极值与最大值最大值 12 注 仍用第一充分条件 定理3.7(第二充分条件)不能应用. 事实上, 可能有极大值, 也可能有极小值, 也可能没有极值. 如, 分别属于上述三种情况. 13 例 解 所以, 函数的极值与最大值最大值 第一充分条件 14 充分条件来判定有无极值; 对于只有驻点而没有导数不存在的点, 可用第二充分条件判断有无极值. 运用第一、第二充分条件需要注意: 若函数有导数不存在的点时,则可用第一(1) (2) 则 15 3.3.2 函数的最值 最值是全局性的概念，是在所考察的 区间上全部函数值中的最大值（或最小值） 16 1.最值的求法 17 (1) 求连续函数 f (x)在闭区间a, b上的最大 (小)值的方法: 将闭区间a, b内所有驻点和导数不存在的 区间端点的 最值必在端(2) 点处达到. 点(即为极值嫌疑点)处的函数值和 函数值 f (a), f (b)比较。 当 f (x)在闭区间a, b上单调时, 18 (3) 若连续函数 f (x)在开区间I内只有 一个极值点 区间 I上的最大 (小)值. 19 例 解 因 驻点: 导数不存在的点: xxxxf2)1( 3 1 3 2 )( 3 2 2 3 1 20 仅需计算: 比较得: 因是偶函数, 最大值为 最小值为 21 求函数f(x)|x23x2|在3 4上的最大值与最小值 解 比较可得f(3)20是 f(x)在3 4上的最大值 f(1)f(2)0是 f(x)在3 4上的最小值 22 实际问题求最值应注意 (1) 建立目标函数; (2) 求最值; 若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数 值即为所求的最大(小)值. 23 例5 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km A点到火 车站B的距离为100km 欲修一条从工厂到铁路的公路CD 已 知铁路与公路每公里运费之比为3:5 为了使火车站B与工厂C 间的运费最省 问D点应选在何处？ D C 20km AB 100km 解 x 设ADx(km) y5kCD3kDB (k是某个正数) B与C间的运费为y 则 DB100x 24 其中以y|x15380k为最小 因此当AD15km时 运费最省 由于y|x0400k y|x15380k 25 例 解 如图, 26 解得 唯一驻点 令 因这样的面积有最大值, 为所求. 为所有三角形中面积的最大值. 27 三、小结 极大值可能小于极小值, 函数的极值必在驻点和导数不存在的点取得. 极值的判别法 第一充分条件; 极值:局部性概念; 极小值可能大于极大值. 极值与最值的区别 最值: 整体性概念. 实际问题求最值的步骤. 第二充分条件, 注意使用条件。 28 思考与练习 1. 设则在点 a 处( ). 的导数存在 , 取得极大值 ; 取得极小值; 的导数不存在. B 提示: 利用极限的保号性 . 29 2. 设 是方程的一个解, 若且 则在 (A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 . 提示: A 30 自我检测题3 5 作业 习题3.3 2.(2) 31 例 某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为 每月720元时,公寓会全部租出去.当租金每月增加40元 时,就有一套公寓租不出去,