齐次线性方程组

齐次线性方程组Tag内容描述：<p>1、第四章线性方程组 引言 实际中，存在大量的解线性方程组的问题。很多数值方法到最后 也会涉及到线性方程组的求解问题：如样条插值的M和m关系式， 曲线拟合的法方程，方程组的Newton迭代等问题。 复习： 对线性方程组：或者： 我们有Cramer法则：当且仅当有唯一解，而且解为： 但Gram法则在实际操作中不能用于计算方程组的解， 如n20的行列式，108次乘法/秒的计算机要算一万四千多年！ 解线性方程组的方法可以分为2类： 直接法：准确，可靠，理论上得到的解是精确的 迭代法：速度快，但有误差 本章讲解直接法的理论基础！ （第二节附录给出。</p><p>2、1 第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 4.3 齐次线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的性质与解空间 二、基础解系及其求法 2 第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 本节所考虑的齐次线性方程组为 简记为 一、齐次线性方程组解的性质与解空间 主要讨论 有非零解的情况。 3 第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 1. 解的性质 证明 (1) 由 有 (2) 由 有 表明 齐次线性方程组解的线性组合仍然是它的解。 一、齐次线性方程组解的性质与解空间 (1) 若 为 的解，也是 的解。则 也是 的解。故 也是 的解。即 (2)。</p><p>3、求齐次线性方程组x1-2x2-x3-4x4=0 2x1-x2 x3-2x4=0的基础解系解：1.x1=2x2+3x3-4x4分别取x2 x3 x4 为(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)解得的x1为2 3 -4所以基础解系为（2 1 0 0）（3 0 1 0）（-4 0 0 1）2.x1=2x2+3x3-4x4分别取x2 x3 x4 为(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)解得的x1为2 3 -4所以基础解系为（2 1 0 0）（3 0 1 0）（-4 0 0 1）3.设 x1- x2 = y，原方程组化为：y - x3 + x4 = 0 -(1)y + x3 - 3x4 = 1 -(2)2y -4x3 +6x4 =-1 -(3)由(1)得：y = x3-x4,，代入(2)(3)得：2*x3 - 4*x4 = 1 -(4)2*x3 - 4*x4 = 1 -(5)由此可以看出，4元方程组只有两个。</p><p>4、高等院校非数学类本科数学课程 多元微积分学与线性代数 大 学 数 学（三） 第二十一讲 齐次线性方程组解的结构 脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中 第五章 线性方程组 第二节 齐次线性方程组解的结构 本节教学要求： 熟悉齐次线性方程组有非零解的条件。 理解齐次线性方程组解的基本性质和解的结构。 能熟练地求齐次线性方程组的基础解系。 理解矩阵的特征值和特征向量的概念。 能熟练地计算矩阵的特征值和特征向量。 二. 齐次线性方程组有非零解的条件 第二节 齐次线性方程组解的结构 一. 齐次线性方程组解的基本性质 三. 齐次线性方程组。</p><p>5、求齐次线性方程组x1-2x2-x3-4x4=0 2x1-x2 x3-2x4=0的基础解系解：1.x1=2x2+3x3-4x4分别取x2 x3 x4 为(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)解得的x1为2 3 -4所以基础解系为（2 1 0 0）（3 0 1 0）（-4 0 0 1）2.x1=2x2+3x3-4x4分别取x2 x3 x4 为(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)解得的x1为2 3 -4所以基础解系为（2 1 0 0）（3 0 1 0）（-4 0 0 1）3.设 x1- x2 = y，原方程组化为：y - x3 + x4 = 0 -(1)y + x3 - 3x4 = 1 -(2)2y -4x3 +6x4 =-1 -(3)由(1)得：y = x3-x4,，代入(2)(3)得：2*x3 - 4*x4 = 1 -(4)2*x3 - 4*x4 = 1 -(5)由此可以看出，4元方程组只有两个。</p><p>6、D=按第一列展开，再将各列的公因子提出来D=(a2a1)(a3a1)(aka1)得到的k1阶范德蒙德行列式，由归纳假设知其值为于是 D=(a2a1)(a3a1)(aka1)= 因此，对于任意正整数n2，范德蒙德行列式的展开式都成立。 证毕例1.14 计算n阶三对角行列式：Dn=解 由行列式的性质1.4，将Dn的第一列的每个元看成两个元之和，得Dn=+第一个行列式按第一列展开；第二个行列式从第一行开始依次加到下一行，得Dn=Dn1+=Dn1+1反复利用上面的递推公式，得到Dn=Dn1+1=Dn2+2=D1+n1=2+n1=n+1例1.15 计算n阶行列式Dn= (aib, i=1,2,n)解 对于这个行列式，采用一种“加边”的技巧。</p><p>7、一、向量空间的基与维数,定义10 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足, 4.4 齐次线性方程组解的结构,（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基,说明,（3）若向量组 是向量空间 的一 个基，则 可表示为,（2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基 就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的 秩.,解向量的概念,设有齐次线性方程组,若记,（1）,二、齐次线性方程组的解空间,则上述方程组（1）可写成向量方程,若,称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解,齐次线性方程组解的性质,证明,（2）若 为 的解， 为实数，。</p><p>8、第4.4节 非齐次线性方程 组解的结构,线性代数,主要内容：,一、非齐次线性方程组解的性质,二、非齐次线性方程组解的结构,三、思考与练习,证明,非齐次线性方程组解的性质,一、非齐次线性方程组解的性质,定理4.5:,证明,证毕,注意:,即非齐次线性方程组的解集合不是向量空间,二、非齐次线性方程组的通解,定理4.6 Ax = b 的通解等于齐次方程组 Ax = 0 的通解与 Ax = b 的一个特解之和. 即设 1, 2, , nr为 Ax = 0 之基础解系. 为 Ax = b 之特解. 则 Ax = b 的通解可表为,k1 1+ knr nr+ .,证明:,设x是非齐次线性方程组 Ax = b 的任何一个解,则由定。</p><p>9、解向量的概念,设有齐次线性方程组,若记,（1）,一、齐次线性方程组解的性质,则上述方程组（1）可写成向量方程,若,称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解,齐次线性方程组解的性质,（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间,基础解系的定义,二、基础解系及其求法,线性方程组基础解系的求法,现对 取下列 组数：,依次得,从而求得原方程组的 个解：,下面证明 是齐次线性方程组解。</p><p>10、二、齐次线性方程组,定理：齐次线性方程组有非零解,齐次线性方程组只有零解,推论1：如果齐次线性方程组的方程个数小于未知数个数（mn），则它必有非零解。,推论2：n个方程n个未知数的齐次线性方程组有非零解的充要条件是|A|=0；而它只有零解的充要条件是|A|0.,2 向量与向量组的线性组合,一、向量及其线性运算,1.定义： n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量。,如：,行向量（行矩阵）,列向量,（列矩阵）,2.一些特殊向量：,（1）零向量：所有分量都为零的向量；,（2）单位向。</p><p>11、第四章线性方程组,4.1齐次线性方程组,解向量的概念,设有齐次线性方程组,若记,（1）,一、齐次线性方程组的解,则上述方程组（1）可写成向量方程,若,称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解,齐次线性方程组解的性质,证明,（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解,证明,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间,证毕.,3基础解系的定义,证 直接验证它们构成基础解系的三个条件。首先，它们的个数与已给的基础解系,.齐次。</p><p>12、第三节 非齐次线性方程组,非齐次线性方程组的概念,非齐次线性方程组解的结构,非齐次线性方程组有解的条件,称为非齐次线性方程组,一、非齐次线性方程组,对方程组的系数矩阵A按列分块，记作A=,问题是：非齐次线性方程组何时是有解的？如果有 解时怎样求出其所有解？,根据齐次线性方程组的不同表示方法，以及矩阵 与其行向量组、列向量组的关系，不难得知如下 等价命题：,二、非齐次线性方程组有解的条件,（1）线性方程组 有解,通常用 (4) 来判断 (1),非齐次线性方程组有解得等价条件,是对应的齐次线性方程组,证明,性质2,三、非齐次线性方程。</p><p>13、第二节 齐次线性方程组,齐次线性方程组的概念,齐次线性方程组的基础解系,齐次线性方程组的解空间,一、齐次线性方程组,齐次线性方程组,若令,则 （1）可写成矩阵形式:,则 (1) 也可写成向量形式:,那么齐次线性方程组在什么条件下有非零解？ 当方程组有非零解时，如何求出其所有的解？,由(3)式可知:如果方程组(2)只有零解,即等式,线性无关,那么R(A)=n。,如果方程组(2)有非零解,则向量组,线性相关,那么R(A)n,定理,证明,只有系数全为零时成立,从而,反之亦然。,齐次线性方程组的解有两个重要的性质如下：,二、齐次线性方程组的解空间,若用S表示方。</p><p>14、解:对增广矩阵B=(A b)施行初等行变换,方程组的解为,所以方程组的解为,例6：设,解：因为系数行列式,问 取何值时，此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解,由Cramer法则可知，系数行列式不为零时，方程组有唯一解.所以,当 时方程组有唯一解.,可知系数矩阵A与增广矩阵B的秩不等,所以方程组无解;,由此可知系数矩阵A与增广矩阵B的秩相等1,所以方程组解且有无穷多.,同解方程组为,求X使XA=B.,解: 若A可逆,则由(1)可得 由(2)可得,利用初等行变换求逆矩阵的方法,还可求,可知,而,例8：设A、B为n阶方阵，证明,证：设,而C1等于在C。</p><p>15、线性方程组的解法注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点，但是同学们学得时候要系统，要全面，要完整。下面是解线性方程组各种情况的标准格式，请同学们以此为准，进行练习。一、齐次线性方程组的解法定理 齐次线性方程组一定有解：(1) 若齐次线性方程组，则只有零解；(2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是.（注：当时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式.）注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于.2、非齐次线性方程组的同解方程组的导出方程组（简称“。</p><p>16、4线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】 r(A)= r n ,若AX = 0（A为矩阵）的一组解为 ,且满足：(1) 线性无关;(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示.则称为AX = 0的基础解系. 称为AX = 0的通解 。其中k1,k2, kn-r为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解， 而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0（A为矩阵）满足，则只有零解；(2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是.（注：当时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式.）。</p>