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第四章线性方程组 引言 实际中，存在大量的解线性方程组的问题。很多数值方法到最后 也会涉及到线性方程组的求解问题：如样条插值的M和m关系式， 曲线拟合的法方程，方程组的Newton迭代等问题。 复习： 对线性方程组：或者： 我们有Cramer法则：当且仅当有唯一解，而且解为： 但Gram法则在实际操作中不能用于计算方程组的解， 如n20的行列式，108次乘法/秒的计算机要算一万四千多年！ 解线性方程组的方法可以分为2类： 直接法：准确，可靠，理论上得到的解是精确的 迭代法：速度快，但有误差 本章讲解直接法的理论基础！ （第二节附录给出Jacobi迭代法） 4.1齐次线性方程组 2.性质1 证 3.性质2 证 定理1 注： 例1求齐次线性方程组 通解和基础解系 解 即得与原方程组同解的方程组 则得 例2 例3 证 证 补充例题：从中说明基础解系不唯一， 自由未知量取法自由！ 附 录 补充例 解 “科学的真正目的是发扬人 类精神的光荣.” 雅可比 “雅可比的演讲总是闪烁着 思想的火花，能点燃听众的 热情；他的文章，无论内容 还是风格，同样在新的一代 数学家中唤起清晰和持久的 影响. ” 柯尼希贝格 1804-1851 生平简介 雅可比是德国数学家. 1804年12月10日生于波茨 坦；1851年2月18日卒于柏林. 雅可比自幼天资聪敏且勤奋好学，年仅12岁时就 准备上大学，但年龄太小不符合大学规定的入学年龄 ，只好先入大学预科，16岁正式进入柏林大学. 在大 学期间，他自学了拉普拉斯、欧拉、拉格朗日等名家 论著. 年仅21岁时就获得博士学位. 1826年到科尼斯 堡大学任教，1827年普升为副教授，1832年普升为教 授. 23岁被选为柏林科学院院士，28岁当选为英国皇 家学会会员，他还是彼得堡科学院、维也纳科学院、 马德里科学院、法国科学院的名誉院士或通讯院士. 1844年起在柏林大学任教. 雅可比是椭圆函数论的开拓者之一. 他对这一课 题的研究成为此后函数论发展所遵循的模式. 雅可比是继柯西之后，在行列式理论方面有最多 成果的数学家. 他的关于行列式的结构和性质（ 1841）对行列式做了奠基性的贡献. “行列式（ determinant）”这个词最终是由他认可的. 他自己也 最先使用函数行列式这一概念，因而后世称之为雅可 比行列式，它在隐函数定理和反函数定理以及广义泰 勒展开等许多分析研究中都有重要作用. 他还给出了 函数行列式的乘积定理，并提出了这些行列式在多重 积分中的变量置换及解偏微分方程中的作用. 对数学的主要贡献 雅可比还是一位卓越的数学教育家. 他一 生培养了大批的数学人才，鼓励他们独立研究 问题，引导学生尽早进入有关课题的前沿. 有 的学生片面认为在进行研究之前，对已有的成 就都要掌握. 为了消除这种想法，鼓励学生尽 早进行研究，雅可比作了一个风趣的比喻：“
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