切平面和法线

切平面和法线Tag内容描述：<p>1、曲面的切平面与法线方程设 中曲面的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面上点 处可微，且 ，过点 任意引一条位于曲面上的曲线。设其方程为 ，且 对应于点 ； 不全为零。由于曲线在上，则有 及 。该方程表示了曲面上任意一条过点 的曲线在该点的切线都与向量 垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面在点 处的切平面. 点 称为切点. 向量 称为曲面在点 处的一个法向量。 记为 。基本方法：1、设点 在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点 处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点 。</p><p>2、设曲面方程为,过曲面上点 任作一条在曲面上的曲线 ，设其方程为,显然有,在上式两端对 求导，得,从而曲面在 点的切平面方程为,由于 的任意性，可见曲面上过 的任一条曲线 在该点的切线都与 正交，因此这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在 点的切平面，而 就是切平面的法向量。,在 点（设 点对应于参数 ）有,过 点与切平面垂直的直线，称为曲面在 点的法线，其方程为,该法线的一组方向数为：,综上所述若曲面方程为,则该曲面在 点的切平面方程为,过 点的法线方程为,设 分别为曲面在 点的法线与 轴正向之间的夹角，那末在 点的法线方。</p><p>3、设曲面方程为 过曲面上点任作一条在曲面上的曲线 设其方程为 显然有 在上式两端对求导 得 从而曲面在点的切平面方程为 由于的任意性 可见曲面上过的任一条曲线在该点的切线都与正交 因此这些切线应在同一平面上 这个平面称为曲面在点的切平面 而就是切平面的法向量 在点 设点对应于参数 有 过点与切平面垂直的直线 称为曲面在点的法线 其方程为 该法线的一组方向数为 综上所述若曲面方程为 则该曲面在点的切。</p><p>4、设曲面方程为,过曲面上点 任作一条在曲面上的曲线 ，设其方程为,显然有,在上式两端对 求导，得,从而曲面在 点的切平面方程为,由于 的任意性，可见曲面上过 的任一条曲线 在该点的切线都与 正交，因此这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在 点的切平面，而 就是切平面的法向量。,在 点（设 点对应于参数 ）有,过 点与切平面垂直的直线，称为曲面在 点的法线，其方程为,该法线的一组方向数。</p><p>5、切平面和法线,设曲面方程为,过曲面上点 任作一条在曲面上的曲线 ，设其方程为,显然有,在上式两端对 求导，得,切平面和法线,从而曲面在 点的切平面方程为,由于 的任意性，可见曲面上过 的任一条曲线 在该点的切线都与 正交，因此这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在 点的切平面，而 就是切平面的法向量。,在 点（设 点对应于参数 ）有,切平面和法线,过 点与切平面垂直的直线，称为曲面。</p>