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文档简介
设曲面方程为 过曲面上点任作一条在曲面上的曲线 设其方程为 显然有 在上式两端对求导 得 从而曲面在点的切平面方程为 由于的任意性 可见曲面上过的任一条曲线在该点的切线都与正交 因此这些切线应在同一平面上 这个平面称为曲面在点的切平面 而就是切平面的法向量 在点 设点对应于参数 有 过点与切平面垂直的直线 称为曲面在点的法线 其方程为 该法线的一组方向数为 综上所述若曲面方程为 则该曲面在点的切平面方程为 过点的法线方程为 设分别为曲面在点的法线与轴正向之间的夹角 那末在点的法线方向余弦为 若曲面方程为 容易把它化成刚才讨论过的情形 于是曲面在 这里 点的切平面方程为 法线方程为 若曲面方程为参数形式 如果由方程组可以确定两个函数 于是可以将看成的函数 从而可以将问题化为刚才已经讨论过的情形 代入方程 得 因此需分别计算对的偏导数 将分别对求导 注意到为的函数按隐函数求导法则有 解方程组 得 法线方程 于是曲面在点的切平面方程为 例1求球面在点的切平面及法线方程 解 设 则 所以在点处球面的切平面方程为 法线方程 曲面的夹角 两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲面在该点的夹角 如果两个曲面在该点的夹角等于90度 则称这两个曲面在该点正交 若两曲面在交线的每一点都正交 则称这两曲面为正交曲面 例2证明对任意常数 球面与锥面是正交的 即 证明 球面的法线方向数为 锥面的法线方向数为 在两曲面交线上的任一点处 两法向量的内积 因在曲面上 上式右端等于0 所以曲面与锥面正交 解 切平面方程为 法线方程为 解 令 切平面方程 法线方程 解 设为曲面上的切点 切平面方程为 依题意 切平面方
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