随机变量的数学期望

随机变量的数学期望Tag内容描述：<p>1、随机变量之和的数学期望定理和应用一、问题的提出引例：一批产品共100件，其中有10件次品，为检查其质量，从中任抽5件，求5件中次品数的分布列，并求的数学期望。解法一 的分布列为012345P E= 1+2+3+4+5= 解法二 设 （i=1,2,3,4,5) 则 = i的分布列为 i01PEi= （i=1,2,3,4,5) E= = 5 = 二、初步思考和结论解法一是堂堂正正的解法，但计算不易，尤其当数字较大时更难；解法二所用到的下列结论= E= 当各事件“第i个产品是次品”相互独立时成立（其证明见下文）。但本题中这一点并不满足，所以解法二不能令人信服。但结果却是正确的，而且形式。</p><p>2、7.4.2 利用MATLAB 计算随机变量的期望和方差 一、用MATLAB计算离散型随机 变量的数学期望 通常，对取值较少的离散型随机变量，可用如下程 序进行计算： 对于有无穷多个取值的随机变量，其期望的计算 公式为： 可用如下程序进行计算： 案例7.63 一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品5种 ，相应的概率分别为0.7、0.1、0.1、0.06及0.04,若其产值分 别为6元、5.4元、5元、4元及0元.求产值的平均值 解：将产品产值用随机变量 表示，则 的分布为 ： 产值的平均值为 的数学期望。在MATLAB中，输入： 再击回车键，显示： 6 5.4 5 4 0 0.7 0.1。</p><p>3、概率论与数理统计,( Mathematical expectation & deviation ),第一讲 随机变量的数学期望,第三讲 协方差与相关系数,第二讲 随机变量的方差,第四章 随机变量的数字特征,第一讲 随机变量的数学期望,数学期望的定义 数学期望的计算法 常用分布的数学期望 数学期望的算子演算性质,引例1 假设一个班共20人, 其中18岁的有6人, 19岁的有10人, 20岁的有4人, 现任取一人观察其岁数,则观察到的岁数X为一随机变量, 不难求出X的分布率如下表所示，计算这个班的学生的平均年龄.,平均年龄 =,引例2 假设 n 个考试成绩中， xi 分的有mi 个( i = 1, 2, , k)。</p><p>4、江汉大学文理学院,概率论与数理统计,2010年9月12月,数学教研室 梁幼鸣,027-85965056（Home）,wululym163.com,15994278022（Mobil）,随机变量的数字特征,第四章,1 随机变量的数学期望,退出,知识点、考点举要,一基本概念与基本结论,二基础算法与重要演算性质,连续型随机变量数学期望的求法,六个常用随机变量的数学期望,退出,随机变量的数学期望,随机变量函数的数学期望的求法,数学期望的算子演算性质,离散型随机变量数学期望的求法,范例、思考与练习,随机变量函数的数学期望及其一般算法,一,四,1 随机变量的数学期望,二,数学期望的定性与定。</p><p>5、第十二章 概率与统计初步,12.12.1离散型随机变量的数学期望,一、复习回顾,1. 离散型随机变量的分布列,2. 离散型随机变量分布列的性质：,(1) pi0，i1，2，； (2) p1p2pi1,要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”,3. 离散型随机变量的分布列:确定随机变量相关事件的概率。,例如,某班同学在一次数学测验中的总体水平,-平均分,-方差.,期望；,1、某人射击10次,所得环数分别是:1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？,把环数看成随机变量的概率分布列：,权数,加权平均,二、互动探索,如果你期中考试各门成绩为： 90、80、77、6。</p><p>6、第三章,随机变量的数字特征,3.2 随机变量函数的数学期望,可列表如下：,（1） 设离散随机变量 的概率分布为,则,3.2 随机变量函数的数学期望,1.一维随机变量函数的数学期望,说明：,例如：,则由加法定理有,此时,(2) 若 的可能值为一个可数无穷集合时,公式的右,边为级数.,设,表，,但有了这个表格就可以计算 的数学期望.,假定这个级数是绝对收敛的.,3.2 随机变量函数的数学期望,例1 设随机变量 的概率分布为,解：,直接按公式计算,3.2 随机变量函数的数学期望,另解：,于是数学期望,3.2 随机变量函数的数学期望,（2）设连续随机变量 的概率密度为。</p><p>7、4.2 随机变量的函数的数学期望,一、一维随机变量函数的数学期望,例4.2 设随机变量 X 的分布律为,解,则有,(1)若X是离散型随机变量，且 X 的概率分布为,(2)若X是连续型随机变量，且其概率密度为 f(x)，,则,则,解,例4.3 设随机变量 X 的概率分布如下：,解,例4.4 设随机变量 X 的概率密度为拉普拉斯分布,解,例4.5 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和 55分钟从底层起行假设有一游客在早上8点的第X分钟到达底层等候电梯，且X在0,60上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望,以Y 表示游客的等候时间，则,故,二。</p><p>8、第三章 随机变量的数字特征,随机变量的数学期望（2）,第二讲,我们经常要求随机变量函数的数学期望 ， 例如飞机的机翼受到的压力是风速的二次函数 如果知道风速这个随机变量的分布情况，需要 求压力的数学期望，就是求随机变量函数的数 学期望。,2、随机变量函数的数学期望,设 X为随机变量，Y=g(X), g(x) 是连续函数,（1）若离散型随机变量X 的分布律为,则,（2）若连续型随机变量X 的概率密度为 f(x),则,例1 设随机变量 X 的分布律为,求E(X)及E(X2),解：,例2 设风速V在(0,a)上服从均匀分布，即密度函数,又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数。</p><p>9、1. 设C是常数，则E(C)=C;,4. 设、独立，则 E()=E()E();,2. 若k是常数，则E(k)=kE();,3. E(+) = E()+E();,（诸i独立时）,注意:E()=E()E() 不一定能推出,独立,3.2 数学期望的性质,上页 下页 返回 结束,随机变量函数的数学期望,设已知随机变量的分布，我们需要计算的不是的期望，而是的某个函数的期望，比如说 = f()的期望. 那么应该如何计算呢？,上页 下页 返回 结束,如何计算随机变量函数的数学期望?,一种方法是，因为f()也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的的分布求出来. 一旦我们知道了f()的分布，就可以按照期望的定义。</p><p>10、第三章 随机变量的数字特征前一章介绍了随机变量的分布，它是对随机变量的一种完整的描述。然而实际上，求出分布率并不是一件容易的事。在很多情况下，人们并不需要去全面地考察随机变量的变化情况，而只要知道随机变量的一些综合指标就够了随机变量的数字特征就是用数字表示随机变量的分布特点。将介绍最常用的两种数字特征：数学期望与方差1. 随机变量的数学期望及其性质一数学期望：1离散型随机变量的数学期望定义：【例3】2。连续型随机变量的数学期望：定义：【例4】3随机变量函数的数学期望：,二 ：三习题： ，；。</p><p>11、第四章 随机变量的 数字特征,在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的分布函数，那么X的全部概率特征也就知道了.,然而，在实际问题中，分布函数一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.,因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 .,这一讲，我们先介绍随机变量的数学期望.,在这些数字特征中，最常用的是,期望和方差,4.1 数学期望,一、离散型随机变量的数学期望 二、连续型随机变量的数学期望 三、随机变量函数的数学期。</p><p>12、第五章 随机变量的数字特征,1,定义1 设 X 为离散型随机变量，其概率分布为,若无穷级数,绝对收敛，则称其和为随机变量 X 的数学期望 记作 E( X ),随机变量的数学期望,2,定义2 设 X 为连续型随机变量, 其密度函数为,若广义积分,绝对收敛，则称此积分为随机变量 X 的数学期望 记作 E( X ),随机变量的数学期望的本质 加 权 平 均， 它是一个数不再是随机变量,3,E (C ) = C,E (aX ) = a E (X ),E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ),当X ,Y 相互独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .,4,市场上对某种产品每年的需求量为X 吨 ， X U 2000,4000 , 每出售一。</p>