泰勒Taylor级数罗朗Laurent级数

泰勒Taylor级数罗朗Laurent级数Tag内容描述：<p>1、第七讲泰勒(Taylor)级数罗朗(Laurent)级数,1.泰勒展开定理2.展开式的唯一性3.简单初等函数的泰勒展开式,4.3泰勒(Taylor)级数,1.泰勒(Taylor)展开定理,现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说,一个解析函数能否展开成幂级数?解析函数在解析点能否用幂级数表示？）,以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。,定理（泰勒展开定理。</p><p>2、第七讲 泰勒(Taylor)级数 罗朗(Laurent)级数,1. 泰勒展开定理 2. 展开式的唯一性 3. 简单初等函数的泰勒展开式,4.3 泰勒(Taylor)级数,1. 泰勒(Taylor)展开定理,现在研究与此相反的问题： 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函 数在解析点能否用幂级数表示？）,以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示。,定理（泰勒展开定理）,分析：,代入(1)得,-(*)得证！,证明 (不讲),(不讲),证明 (不讲),2. 展开式的唯一性,结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它 的Taylor级数。,利用。</p><p>3、第七讲泰勒(Taylor)级数罗朗(Laurent)级数,1.泰勒展开定理2.展开式的唯一性3.简单初等函数的泰勒展开式,4.3泰勒(Taylor)级数,1.泰勒(Taylor)展开定理,现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说,一个解析函数能否展开成幂级数?解析函数在解析点能否用幂级数表示？）,以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。,定理（泰勒展开定理。</p><p>4、1 泰勒 Taylor 级数与罗朗级数 2 为了证明定理1 首先介绍下面两个引理一 有关逐项积分的两个引理引理1 函数项级数的逐项积分 设函数和沿曲线可积 且在上处处有如果存在收敛的正项级数使得在上有那么 2泰勒 Taylor 级数 3 证明 由于收敛 因此当时 必有于是设曲线的长度为 当时 有这就证明了该引理 4 引理2若在正向圆周上连续 则 1 对该圆内任一点z有 2 对该圆外任一点z有 5。</p><p>5、泰勒(Taylor)级数与 罗朗级数 1 为了证明定理1，首先介绍下面两个引理 一、有关逐项积分的两个引理 引理1（函数项级数的逐项积分）设函数 和 沿曲线 可积，且在 上处处有 如果存在收敛的正项级数 使得在 上有 那么 2 泰勒(Taylor)级数 2 证明： 由于 收敛，因此当 时，必有 于是设曲线 的长度为 ，当 时，有 这就证明了该引理。 3 引理2 若 在正向圆周 上连续， 则 （1）对该圆内任一点z有 (2）对该圆外任一点z有 4 证明： （1）令 ，由于 ， 因此由等比级数的求和公式得： 对任意满足 的点成立。 由引理1，只须对最后所得的函数项级数找。</p><p>6、第七讲 泰勒(Taylor)级数 罗朗(Laurent)级数 在z - z0=R 2外发散。 z0 R1 R2 z0 R2 R1 A (2)在圆环域的边界z - z0=R1, z - z0=R2上, 3. 函数展开成双边幂级数 定理 证明 由复连通域上的Cauchy 积分公式： D z0 R1 R2 r R k1 k2 D1 z 记为I1记为I2 式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进 行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路 定理可将cn写成统一式子： 证毕！ 级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分。 A (2)在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点 z0的邻域内解析，需要把f (z)展成级数。</p>