复变函数-Taylor级数与罗朗级数.ppt

泰勒(Taylor)级数与 罗朗级数 1 为了证明定理1，首先介绍下面两个引理 一、有关逐项积分的两个引理 引理1（函数项级数的逐项积分）设函数 和 沿曲线 可积，且在 上处处有 如果存在收敛的正项级数 使得在 上有 那么 2 泰勒(Taylor)级数 2 证明： 由于 收敛，因此当 时，必有 于是设曲线 的长度为 ，当 时，有 这就证明了该引理。 3 引理2 若 在正向圆周 上连续， 则 （1）对该圆内任一点z有 (2）对该圆外任一点z有 4 证明： （1）令 ，由于 ， 因此由等比级数的求和公式得： 对任意满足 的点成立。 由引理1，只须对最后所得的函数项级数找出满 足引理条件的正项级数A0+A1+ +An+，然后 逐项积分就可得到所证结果。 5 事实上，由函数f ()的连续性，可设|f ()|在 圆周|-z0|=r上的上界为正数M，则对于固定的点z ，在该圆周上处处有 而 是收敛的，故所证等式成立。 6 （2）当z 在圆周外时，显然 对圆周 上的点 成立。这时有 同样由引理1可得所证等式。 7 定理1 设函数f(z)在圆盘 内解析，那么 在U内有 证明：设 。以 为中心在 内作一圆 ，使得 z 属于其内部，此时由柯西积分公式有 又因 在C上解析，也一定连续，所以由引理2 的结论（1）得 8 由于z是U内的任意一点，证毕。 注 定理1中的幂级数称为函数f (z) 在点z0的Taylor级 数展开式，可以写为 其中 cn为展开式的Taylor系数，可表示为 9 定理2 函数 在 解析的充分必要条件是它在 的某个邻域有幂级数展开式。 系1 幂级数就是它的和函数 在收敛圆盘中的 Taylor展开式，即 系2 (幂级数展开式的唯一性)在定理1中，幂级 数的和函数f(z)在收敛圆盘U内不可能有另一幂级 数展开式。 10 三.初等函数的泰勒展开式 1 直接展开法：先求出 ，然后应用泰勒 定理写出泰勒级数及其收敛半径。 指数函数在 处的泰勒（Taylor）展开式 下列函数在 处的泰勒展开式 11 为实常数 当 时，上式只有有限项，并且是在整 个复平面上成立。 12 间接展开法：它是根据函数在一点的泰勒级 数展开式的唯一性给出的。在这里指从上面6个 初等函数的泰勒级数展开式出发，利用幂级数的 变量替换，逐项微分，逐项积分和四则运算等求 出其出泰勒级数及其收敛半径。 如：应用 ，令 ，得 13 例1 试将 在点 展成泰勒级数。 14 解 因为 是 可在 内展成泰勒级数，有 例1 试将 在点 展成泰勒级数。 的唯一有限奇点，所以 15 例2 求下列函数在点 处的泰勒级数展 开式及 其收敛半径。 （1） （2） （3） （4） 16 例2 求下列函数在点 处的泰勒级数展开式及 其收敛半径。 （1） （2） （3） （4） 解 （1） 在 处为唯一的奇点，并且当 时，函数 ，所以函数在 处 的泰勒级数展开式的收敛半径为 |z1-z0|=|0-i|=1 ， 从而在 |z-i| r1 R1 c1 C为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线. 为罗朗系数. 27 由Cauchy积分公式，对环内任意的z 有证明： 由复闭路定理可知： 证毕 28 i)罗朗级数中的正幂项系数不能记为： 3) 与泰勒级数比较 ii)罗朗级数是泰勒级数的推广. 说明: 函数在圆环域内的罗朗展开式 在圆环域内的罗朗(Laurent)级数. 1) 2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级 数是唯一的， 这就是 f (z) 的罗朗级数. 29 罗朗级数的性质 定理 若函数 在圆环D: 内解析 ， 则该函数的罗朗级数展开式在D内处处绝对收敛、 可以逐项微分和积分，其积分路径为内的任何简单 闭路。 30 二、函数的Laurent展开式 (1) 直接展开法 利用定理公式计算系数 然后写出 缺点: 计算往往很麻烦, 不常用 方法 : 1. 直接法 2. 间接法 31 (2) 间接展开法 根据罗朗级数的正、负幂项组成的的级数的唯一性, 用代数运算、代换、求导和积分以及已有的Taylor 展开式等方法去展开 . 优点 : 简捷 、快速 ，所以常用 32 例1 求 及 在 内的罗朗展开式。 解：此时用sinz 的Taylor展式 33 例2 内解析, 把 f(z) 在这些区域内展成Laurent级数. 解 34 12 ox y 由 且仍有 35 2ox y 由 此时 仍有 36 说明: 1. 函数在以为中心的圆环域内的罗朗级 数中尽管含有 的负幂项, 而且又是这些 项的奇点, 但是可能是函数 的奇点,也可能 的奇点.不是 2. 给定了函数与复平面内的一点以后, 函数在各个不同的圆环域中有不同的罗朗展开 式 (包括泰勒展开式作为它的特例). 回答：不矛盾 . 问题：这与罗朗展开式的唯一性是否相矛盾? 朗展开式是唯一的) (唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的罗 37 例3 分别将下列函数在指定点 的去心邻域内展开 成Laurent级数 （1） 利用三角公式和 的Taylor级数展开式可得当 化简得 该展开式不含有负幂项. 38 （2） 39 四、用Laurent级数的展开式计算积分 根据罗朗展开定理及罗朗级数的性质，得 因此，我们可以根据求出系数c-1 的值来计算积 分。 步骤：1.分析f(z)的解析性，确定解析环域； 2.在包含积分路径C的解析环域里将函数 展成Laurent级数 例 5 40 例 6 41 例7 计算积分 例8 计算积分 注意 用Cauchy积分公式计算上述积分更方便，即 42 复积分计算的方法 (f(z)在C的内部解析) (F(z)为f(z)的原函数) (C为内部包含z0的简单闭曲线, f(z)在C的 内部解析) (Laurent 级数展开式) 例 计算积分 43 有时用第三,四章中介绍的有关公式来计算积 分也不简便,还需要用到以后介绍的留数和留数 定理. 44 复数项级数函数项级数 充 要 条 件 必 要 条 件 幂级数 收敛半径R 复 变 函 数 绝