复变函数-Taylor级数与罗朗级数

1 泰勒 Taylor 级数与罗朗级数 2 为了证明定理1 首先介绍下面两个引理一 有关逐项积分的两个引理引理1 函数项级数的逐项积分 设函数和沿曲线可积 且在上处处有如果存在收敛的正项级数使得在上有那么 2泰勒 Taylor 级数 3 证明 由于收敛 因此当时 必有于是设曲线的长度为 当时 有这就证明了该引理 4 引理2若在正向圆周上连续 则 1 对该圆内任一点z有 2 对该圆外任一点z有 5 证明 1 令 由于 因此由等比级数的求和公式得 对任意满足的点成立 由引理1 只须对最后所得的函数项级数找出满足引理条件的正项级数A0 A1 An 然后逐项积分就可得到所证结果 6 事实上 由函数f 的连续性 可设 f 在圆周 z0 r上的上界为正数M 则对于固定的点z 在该圆周上处处有而是收敛的 故所证等式成立 7 2 当z在圆周外时 显然对圆周上的点成立 这时有同样由引理1可得所证等式 8 定理1设函数f z 在圆盘内解析 那么在U内有证明 设 以为中心在内作一圆 使得z属于其内部 此时由柯西积分公式有又因在C上解析 也一定连续 所以由引理2的结论 1 得 9 由于z是U内的任意一点 证毕 注定理1中的幂级数称为函数f z 在点z0的Taylor级数展开式 可以写为其中cn为展开式的Taylor系数 可表示为 10 定理2函数在解析的充分必要条件是它在的某个邻域有幂级数展开式 系1幂级数就是它的和函数在收敛圆盘中的Taylor展开式 即系2 幂级数展开式的唯一性 在定理1中 幂级数的和函数f z 在收敛圆盘U内不可能有另一幂级数展开式 11 三 初等函数的泰勒展开式 1直接展开法 先求出 然后应用泰勒定理写出泰勒级数及其收敛半径 指数函数在处的泰勒 Taylor 展开式下列函数在处的泰勒展开式 12 为实常数当时 上式只有有限项 并且是在整个复平面上成立 13 间接展开法 它是根据函数在一点的泰勒级数展开式的唯一性给出的 在这里指从上面6个初等函数的泰勒级数展开式出发 利用幂级数的变量替换 逐项微分 逐项积分和四则运算等求出其出泰勒级数及其收敛半径 如 应用 令 得 14 例1试将在点展成泰勒级数 15 解因为是 可在内展成泰勒级数 有 例1试将在点展成泰勒级数 的唯一有限奇点 所以 16 例2求下列函数在点处的泰勒级数展开式及其收敛半径 1 2 3 4 17 例2求下列函数在点处的泰勒级数展开式及其收敛半径 1 2 3 4 解 1 在处为唯一的奇点 并且当时 函数 所以函数在处的泰勒级数展开式的收敛半径为 z1 z0 0 i 1 从而在 z i 1时有令应用展开式 6 可得 18 2 同理可得其在处的泰勒级数展开式的收敛半径为1 由于 应用展开式 3 得所以当时 19 3 由于在整个复平面上解析 故其收敛半径为 从而应用展开式 2 4 得用直接法也简单 注意到 20 4 其Taylor级数收敛半径为1 从而在处的泰勒级数展开式两端同乘以即可得到在处的泰勒级数展开式 注意 显然不必要将写成的多项式再来求在处的泰勒级数展开式 21 小结 泰勒 Taylor 级数的形式 幂级数为其中z是复变数 系数是复常数 泰勒级数在收敛半径为R的收敛圆内表示了一个解析函数 如果函数在半径为R的圆内解析 则它可在该圆内展成泰勒级数 22 4罗朗 Laurent 级数 一 问题的引入 罗朗级数的收敛域二 罗朗展开定理三 环域上解析函数的Laurent展开式四 Laurent级数在积分计算中的应用 23 一 问题的引入 研究了 对于一般的函数项级数 从数学研究的角度 应该可以取具有负幂的 更一般地 考虑双边幂级数 取正幂项的级数 24 负幂项部分 正幂项部分 主要部分 解析部分 同时收敛 Laurent级数 收敛 25 收敛半径 收敛域 收敛半径 收敛域 两收敛域无公共部分 两收敛域有公共部分 R 结论 且和函数在收敛域内解析 注意 祥见P185的定理5 1 26 引例 都不解析 也可以展开成罗朗级数 27 一 罗朗展开定理 c 1 C为圆环域内绕的任一正向简单闭曲线 为罗朗系数 28 由Cauchy积分公式 对环内任意的z有 证明 由复闭路定理可知 证毕 29 i 罗朗级数中的正幂项系数不能记为 3 与泰勒级数比较 ii 罗朗级数是泰勒级数的推广 说明 在圆环域内的罗朗 Laurent 级数 1 2 某一圆环域内的解析函数展开为含有正 负幂项的级数是唯一的 这就是f z 的罗朗级数 30 罗朗级数的性质定理若函数在圆环D 内解析 则该函数的罗朗级数展开式在D内处处绝对收敛 可以逐项微分和积分 其积分路径为内的任何简单闭路 31 二 函数的Laurent展开式 1 直接展开法 利用定理公式计算系数 然后写出 缺点 计算往往很麻烦 不常用 方法 1 直接法2 间接法 32 2 间接展开法 根据罗朗级数的正 负幂项组成的的级数的唯一性 用代数运算 代换 求导和积分以及已有的Taylor展开式等方法去展开 优点 简捷 快速 所以常用 33 例1求及在内的罗朗展开式 解 此时用sinz的Taylor展式 34 例2 内解析 把f z 在这些区域内展成Laurent级数 解 35 由 且仍有 36 此时 仍有 37 说明 回答 不矛盾 问题 这与罗朗展开式的唯一性是否相矛盾 38 例3分别将下列函数在指定点的去心邻域内展开成Laurent级数 1 化简得 该展开式不含有负幂项 39 2 40 四 用Laurent级数的展开式计算积分根据罗朗展开定理及罗朗级数的性质 得因此 我们可以根据求出系数c 1的值来计算积分 步骤 1 分析f z 的解析性 确定解析环域 2 在包含积分路径C的解析环域里将函数展成Laurent级数 例5 41 例6 42 例7计算积分 注意用Cauchy积分公式计算上述积分更方便 即 43 复积分计算的方法 f z 在C的内部解析 F z 为f z 的原函数 C为内部包含z0的简单闭曲线 f z 在C的内部解析 Laurent级数展开式 例计算积分 44 有时用第三 四章中介绍的有关公式来计算积分也不简便 还需要用到以后介绍的留数和留数定理 45 复数项级数 函数项