微分方程例题

微分方程例题Tag内容描述：<p>1、1、基本概念 微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶 微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解 通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解 特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解 初始条件 用来确定任意常数的条件. 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题 ，叫初值问题 (1) 可分离变量的微分方程 解法 分离变量法。</p><p>2、薀薈袃莀芀螃蝿莀莂薆肈荿薄螂肄莈蚇蚅羀莇莆袀袆莆葿蚃膅莅薁袈肁蒄蚃蚁羇蒄莃袇袃肀蒅虿蝿聿蚈袅膇肈莇螈肃肇蒀羃罿肇薂螆袅肆蚄蕿膄肅莄螄肀膄蒆薇羆膃薈螃袂膂莈薅袈膂蒀袁膆膁薃蚄肂膀蚅衿羈腿莅蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿袆羅芆蒁虿羁芅薄羄袇芄蚆螇膅芃莆薀肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀芀螃蝿莀莂薆肈荿薄螂肄莈蚇蚅羀莇莆袀袆莆葿蚃膅莅薁袈肁蒄蚃蚁羇蒄莃袇袃肀蒅虿蝿聿蚈袅膇肈莇螈肃肇蒀羃罿肇薂螆袅肆蚄蕿膄肅莄螄肀膄蒆薇羆膃薈螃袂膂莈薅袈膂蒀袁膆膁薃蚄肂膀蚅衿羈腿莅蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿袆羅芆蒁虿羁芅薄羄袇芄蚆螇膅芃莆薀。</p><p>3、第十二部分：微分方程,习题课,第十二部分 微分方程,一 重点与难点： 1. 什么是微分方程？常微分方程？线性微分方程？微分方程的阶？ 2. 微分方程的通解与特解有什么相同点和区别？ 3. 熟练掌握几类一阶微分方程的解法. 两类方程的推广*. 4. 掌握三种可降阶的高阶微分方程的解法. 5. 什么是线性微分方程？线性微分方程的解的结构是怎样的？ 6. 熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征根求法. 7. 掌握（自由项为多项式、指数函数、正弦函数及余弦函数的积 与和的）二阶常系数非齐次线性方程的特解的待定系数法. 8. 会用微分方程解决简单。</p><p>4、1一阶微分方程 2可降阶的二阶微分方程 3二阶线性微分方程的解的结构 4二阶常系数线性微分方程,一、本章要点,1一阶微分方程,1)可分离变量的微分方程,解法,类型,2)一阶线性微分方程,类型,解法,3)齐次方程,此为变量可分离的微分方程,类型,解法 令 ，则 原方程变为,4)伯努利方程,为一阶线性微分方程,类型,解法 令 ，则原方程变为,2可降阶的二阶微分方程,方法 作 次积分,新方程是一个一阶微分方程,1)类型,2)类型,方法 令 ，则原方程转变为,新方程是一个一阶微分方程,3)类型,方法 令 ，则原方程转变为,3二阶线性微分方程的解的结构,设二阶线性微。</p><p>5、第十章 微分方程习题课（二）,高阶微分方程,一、可降阶的高阶微分方程,1高阶微分方程的定义,2可降阶的高阶微分方程类型,(1),(2),(3),3可降阶的高阶微分方程的解题方法流程图,可降阶的高阶微分方程，是通过引入变量进行降阶，转化为成一阶微分方程，通过判定一阶微分方程的类型，求出通解。解题方法流程图如下图所示。,解题方法流程图,逐次积分,解一阶微分方程,解一阶微分方程,Yes,No,4. 典型例题,【例1】求方程 的通解。,解：由于不显含 ，令 ，则,代入原方程整理得,即,因此,再积分一次，即得原方程的通解为：,此解可以写成,代入原方程整。</p><p>6、一阶微分方程 习题课,基本概念,一阶方程,类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.线性方程,7.伯努利方程,可降阶方程,线性方程 解的结构 定理1;定理2 定理3;定理4,二阶常系数线性 方程解的结构,特征方程的根 及其对应项,f(x)的形式及其 特解形式,二阶方程,待定系数法,特征方程法,一、主要内容,1、四种标准类型的一阶微分方程的解法,(1) 可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,(2) 齐次型方程,解法,作变量代换,一、主要内容,(3) 一阶线性微分方程,齐次,非齐次.,解法,齐次方程的通解为,（使用分离变量法）,非齐次微。</p><p>7、一阶微分方程习题课,一、一阶微分方程求解,1. 一阶标准类型方程求解,关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤,2. 一阶非标准类型方程求解,(1) 变量代换法 代换自变量,代换因变量,代换某组合式,(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程,四个标准类型:,可分离变量方程,齐次方程,一阶线性线性方程,全微分方程,例1. 求下列方程的通解,提示: (1),故为分离变量方程:,通解,方程两边同除以 x 即为齐次方程 ,令 y = u x ,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位 ,用线性方程通解公式求解 .,化为,方法 1 这是一个齐次方程 .,方法 2 化为微分形式,。</p><p>8、一阶微分方程 习题课,基本概念,一阶方程,类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程,7.伯努利方程,可降阶方程,线性方程 解的结构 定理1;定理2 定理3;定理4,欧拉方程,二阶常系数线性 方程解的结构,特征方程的根 及其对应项,f(x)的形式及其 特解形式,高阶方程,待定系数法,特征方程法,一、主要内容,1、五种标准类型的一阶微分方程的解法,(1) 可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,(2) 齐次型方程,解法,作变量代换,一、主要内容,可化为齐次的方程,解法,化为齐次方程,（其中h和k是待定的常数）,(。</p>