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文档简介

1一阶微分方程 2可降阶的二阶微分方程 3二阶线性微分方程的解的结构 4二阶常系数线性微分方程,一、本章要点,1一阶微分方程,1)可分离变量的微分方程,解法,类型,2)一阶线性微分方程,类型,解法,3)齐次方程,此为变量可分离的微分方程,类型,解法 令 ，则 原方程变为,4)伯努利方程,为一阶线性微分方程,类型,解法 令 ，则原方程变为,2可降阶的二阶微分方程,方法 作 次积分,新方程是一个一阶微分方程,1)类型,2)类型,方法 令 ，则原方程转变为,新方程是一个一阶微分方程,3)类型,方法 令 ，则原方程转变为,3二阶线性微分方程的解的结构,设二阶线性微分方程,而称方程,为方程所对应的齐次线性方程有,1)若 是方程的线性无关解，则方程有通解,的一个特解,2)若 是方程的特解，则方程有通解,3)若 是方程 的特解，,则 为方程,4二阶常系数线性微分方程,1)二阶常系齐次数线性微分方程,设方程,相应的特征方程为,则：若方程有两个不同的实根 ，则方程的通解为,若方程有两个相同的实根 ，则方程的通解为,若方程有一对共轭复根 ，则方程的通,解为,2)二阶常系数非齐次线性微分方程,设方程为,则方程有特解,其中 是一个与 同次的多项式，而,设方程,则方程有特解,其中 是 次的多项式， ，而,按 是否为特征方程的根而分别取1或0,二、例 题 选 讲,解 此方程为一个可分离变量的微分方程分离变量，,因,得,例1 求解方程 ,两边积分，得,即得原方程的通解,解 原方程变形后为齐次方程,例2 求解方程 ， ,作变换 ，则有,移项，得,两边积分，得,将 代入，有,即满足初始条件的解为,由初始条件 ，得 ，即原方程的解为,例2 求解方程 ， ,即,例3 求微分方程 的通解,此是关于函数 的一阶线性非齐次线性微分方程，,由求解公式得,例4 求解下列方程,即,方程的解为,1. ； 2. ,解 1. 此方程不含变量 ，故令变换 ，则方程为,即,所以，方程的通解为,方程变形为,即有,2. 此方程中不含变量 ，作变换 ，则,1. ； 2. ,由 ，得方程的解为 由,解得,即,分离变量后，再两边积分得,从而得方程的通解,例,有特,而对应齐次方程有解,微分方程的通解 .,解:,故所给二阶非齐次方程为,方程化为,5. 设二阶非齐次方程,一阶线性非齐次方程,故,再积分得通解,复习: 一阶线性微分方程通解公式,例6 设,提示: 对积分换元 ,则有,解初值问题:,答案:,总习题解答提示,求以,为通解的微分方程 .,提示: 由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,求下列微分方程的通解,提示: (6) 令,则方程变为,P353 题2,P353 题3,特征根:,齐次方程通解:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,思 考,若 (7) 中非齐次项改为,提示:,原方程通解为,特解设法有何变化 ?,求解,提示: 令,则方程变
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