微分方程数值解法

微分方程数值解法Tag内容描述：<p>1、双曲型方程的有限差分法线性双曲型方程定解问题：（a）一阶线性双曲型方程（b）一阶常系数线性双曲型方程组其中，阶常数方程方阵，为未知向量函数。（c）二阶线性双曲型方程（波动方程）为非负函数（d）二维，三维空间变量的波动方程1 波动方程的差分逼近1.1 波动方程及其特征线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程：（1.1） 其中是常数。（1.1）可表示为：，进一步有由于当时为的全导数（）,故由此定出两个方向（1.3） 解常微分方程（1.3）得到两族直线（14） 和 称其为特征。特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要。</p><p>2、第六章 常微分方程的数值解法6.0 引言6.1 算法构造的主要途径 6.2 Runge-Kutta Method算法6.3 线性多步法6.4 线性多步法的一般形式6.5 算法的稳定性、收敛性6.6 小结376.0 引 言1主要考虑如下的一阶常微分方程初值问题的求解:微分方程的解就是求一个函数，使得该函数满足微分方程并且符合初值条件。2. 例如微分方程:初始条件.可得一阶常微分方程的初始问题。显然函数y(x)=x2-4x满足以上条件,因而是该初始问题的微分方程的解。3. 但是,只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解 。</p><p>3、偏微分方程的数值解法 Numerical Solutions to Partial Differential Equations 对象 双曲型方程: (5.1) 建立差分格式 将xt平面分割成矩形网格 用(k,j)表示网格节点(xk,tj)，网格节点上的函数 值为u(k,j) 用差商表示导数 方程(5.1)式变为 (5.2) 略去误差项，得到差分方程 加上初始条件，构成差分格式 差分格式的收敛性和稳定性 差分格式的依赖区域 库朗条件：差分格式收敛的必要条件是差分格式的依 赖区域应包含微分方程的依赖区域 稳定性 对象 抛物型方程: (5.3) 建立差分格式 将xt平面分割成矩形网格 用(k,j)表示网格节点(xk,tj)，网格。</p><p>4、计 算 方 法 授课老师：聂德明 nieinhzcjlu.edu.cn 仰仪北楼606 计量测试工程学院 Numerical Method 6 常微分方程数值解法 常微分方程 欧拉方法 龙格-库塔方法 6 常微分方程数值解法 微分方程 常微分方程 偏微分方程 线性常微分方程 非线性常微分方程 一阶线性常微分方程初值问题 6.1欧拉(Euler)方法 数值方法的基本思想 在解的存在区间上取n + 1个节点 利用数值计算方法寻求y(x)在节点上的近似值： y0, y1, yn 连续 离散 一阶线性常微分方程初值问题 6.1欧拉(Euler)方法 x0x1x2xixi+1xn 6.1 欧拉(Euler)方法 6.1 欧拉(Euler)方法 单步显。</p><p>5、第十章,常微分方程数值解法,（Numerical Methods for Ordinary Differential Equations ）,问题驱动：蝴蝶效应,洛伦兹吸引子(Lorenz attractor)是由MIT大学的气象学家E dward Lorenz在1963年给出的，他给出第一个混沌现象蝴 蝶效应。,图10.1.1蝴蝶效应示意图,洛伦兹方程是大气流体动力学模型的一个简化的常微分方程组：,该方程组来源于模拟大气对流，该模型除了在天气预报中有显 著的应用之外，还可以用于研究空气污染和全球侯变化。洛伦 兹借助于这个模型，将大气流体运动的强度x与水平和垂直方 向的温度变化y和z联系了起来。参数,称为普。</p><p>6、第二章习题答案第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 q1显示答案 a1隐藏答案 q2显示答案 a2第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 q1显示答案 a1隐藏答案 q2显示答案 a2隐藏答案 q3显示答案 a3隐藏答案 q4显示答案 a4隐藏答案 q5显示答案 a5隐藏答案 q6显示答案 a6第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 q1显示答案 a1隐藏答案 q2显示答案 a2隐藏答案 q3显示答案 a3隐藏答案 q4显示答案 a4隐藏答案 q5显示答案 a5隐藏答案 q6显示答案 a6隐藏答案 q7显示答案 a7隐藏答案 q8显示答案 a8。</p><p>7、常微分方程习题 李立康习题1.用Euler方法求初值问题在时的近似解（取）。2.初值问题有解。但若用Euler方法求解，对一切和,都只能得到，试解释此现象产生的原因。3.用Euler方法计算在处的值，取，将计算结果与精确值相比较。4.设满足定理2.1的条件，对改进Euler法（2.10）式证明：（1）其局部截断误差为；（2）当时，其整体截断误差满足：（3）方法具有二阶收敛速度且稳定。5.导出用改进Euler法求解计算公式取计算的近似值，并与习题3的结果比较。6.就初值问题分别导出用Euler方法和改进Euler法求近似解的表达式，并与真解相比较。7.证明改。</p><p>8、第二章 常微分方程数值解法 Chapter 2 Numerical Solution of Ordinary Differential Equation(s),2,2.1 引 言,假设牵引力F为恒定值,假设牵引力不恒定呢？,求速度,3,虽然求解微分方程有许多解析方法，但解析方法只能够求解一些特殊类型的方程。,还有一类近似方法称为数值方法，它可以给出解在一些离散点上的近似值。利用计算机解微分方程主要使用数值方法。,解析方法与数值方法,4,主要研究对象：初值问题,求数值解：求y(x)在离散数据点xk处的近似值yk 。,5,则称 f (x,y) 对y 满足李普希兹条件，此时初值问题在a,b上存在唯一的连续可微的解。</p><p>9、常微分方程数值解法上机实验报告实验题1.ODE:u=1-2tu1+t2u0=0，采用Euler折线法、梯形法、RK3、RK4、三步三阶Adams方法求解。要求：（1）绘制误差下降曲线；（2）确定每个方法的“数值阶”实验图像和数据：（1）误差曲线图：为了比较不同的方法在区间0,T固定、所分区间数N不断变大的情况下，在整个区间上数值解与真解的最大误差下降情况，取T=100、N=1000:10000，得到如下图像：图一：不同方法随着区间数N的增大，最大误差的下降曲线为了探究三步三阶Admas方法的初值选取对后续误差的下降速度的影响，分别用Euler方法给初值，梯形方法给初。</p><p>10、常微分方程的数值解法专业班级：信息软件 姓名：吴中原 学号：120108010002 一、实验目的1、熟悉各种初值问题的算法，编出算法程序；2、明确各种算法的精度与所选步长有密切关系；通过计算更加了解各种 算法的优越性。二、实验题目1、根据初值问题数值算法，分别选择二个初值问题编程计算；2、试分别取不同步长，考察某节点处数值解的误差变化情况；3、试用不同算法求解某初值问题，结果有何异常；4、分析各个算法的优缺点。三、实验原理与理论基础（一） 欧拉法算法设计对常微分方程初始问题(6-1)(6-2)用数值方法求解时，我们总是认为(6-。</p><p>11、湖南工程学院 微分方程数值解法实验报告专业班级姓名学号同组实验人员信息与计算科学1101王珍09实验日期2014年5 月6日第 1次实验指导老师杨继明评分实验名称用欧拉方法解常微分方程的初值问题实验目的熟悉掌握常微分方程的初值问题的数值格式并程序实现考虑下列常微分方程的初值问题：采用欧拉方法求解初值问题采用Matlab程序设计语言编程实现该问题的数值求解。在Matlab命令窗口中输入命令：E=euler(0,1,1,20)运行程序得到实验结果为：E =0 1.000000000000000.05000000000000 0.750000000000000.10000000000000 0.562500000000000.150000。</p><p>12、第九节 常微分方程的数值解法,一阶常微分方程的初值问题： 节点：x1x2 xn 步长 为常数,一 欧拉方法（折线法） yi+1=yi+hf(xi,yi)(i=0,1, , n 1) 优点：计算简单。 缺点：精度不高。 二 改进的欧拉方法,三 龙格库塔法(Runge-Kutta) 欧拉公式可改写为 （它每一步计算f(xi,yi) 一次，截断误差为O(h2),改进的欧拉公式可改写为 （它每一步计算f(x,y)两次，截断误差为O(h3),标准四阶龙格库塔公式 （每一步计算f(x,y)四次，截断误差为O(h5),例 分别用改进的欧拉格式和四阶龙格库塔格式解初值问题（取步长h=0.2）：,表74 节点 改进欧拉法 四阶龙格。</p><p>13、第五章 微分方程数值解, 待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题,I 常微分方程数值解,II 偏微分方程数值解, 待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题,-Eulers Method,1 欧拉方法( Eulers Method), 欧拉法的局部截断误差：,Rn+1 的主项,比较尤拉显式公式和隐式公式及其局部截断误差,显式公式,隐式公式,若将这两种方法进行算术平均，即可消除误差 的主要部分/*leading term*/ 而获得更高的精度,称为梯形法, 梯形公式, 显、隐式两种算法的平均,2 龙格 - 库塔法,建立高精度的单步递推格式:在改进尤拉法和尤拉两步法预测-校正系统中,预测公式。</p><p>14、第十章 偏微分方程数值解法,10-1,第十章,偏微分方程数值解法,第十章 偏微分方程数值解法,10-2,第十章目录,1 差分方法的基本概念 1.1 偏微分方程的定解问题 1.2 差分方法的基本概念 2 椭圆型方程第一边值的差分方法 2.1 差分格式的建立 2.2 差分格式解的存在唯一性 3 抛物型方程的差分解法及其稳定性 3.1 差分格式的建立 3.2 差分格式的稳定性 4 双曲型方程的差分解法 4.1 几种简单的差分格式 4.2 差分格式的收敛性与稳定性,第十章 偏微分方程数值解法,10-3,补充知识,“高数”中接触了一些简单偏微分，也接触了简单偏微分方程，如：,其中：。</p><p>15、第6章 常微分方程数值解法,本章主要介绍一阶方程初值问题,的数值解法。它是寻求解曲线y(x)在一系列离散节点 x1x2xnxn+1 上准确值y(xi)的近似值yI(i=0,1,2,)相邻两个节点的间距h=xi+1-xi称为步长。今后如不特别说明，总是假定h为定数，这时节点为 xi=x0+ih(i=0,1,2,) 初值问题的数值解法有个基本特点，它们都采取“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进。描述这类算法，只要给出用已知信息yn,yn-1,yn-2计算yn+1的递推公式即可。,6.1 欧拉方法 6.2 龙格-库塔方法 6.3 一阶方程组 6.4 应用实例,6.1 欧拉方法,1. 方向场 。</p><p>16、Tel： 86613747 E-mail： lsszjtcm.net 授课: 68 学分：4,第七章 常微分方程的数值解法,问题提出 倒葫芦形状容器壁上的刻度问题.对于如图所示圆柱形状容器壁上的容积刻度,可以利用圆柱体体积公式,其中直径D为常数.由于体积V与相对于容器底部的任意高度H的函数关系明确,因此在容器上可以方便地标出容器刻度,而对于几何形状不是规则的容器,比如倒葫芦形状容器壁上如何标出刻度呢?下表是经过测量得到部分容器高度与直径的关系.,x,1,o,根据上表的数据,可以拟合出倒葫芦形状容器的图,建立如图所示的坐标轴后,问题即为如何根据任意高度x标出容器。</p>