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文档简介

第五章 微分方程数值解, 待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题,I 常微分方程数值解,II 偏微分方程数值解, 待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题,-Eulers Method,1 欧拉方法( Eulers Method), 欧拉法的局部截断误差：,Rn+1 的主项,比较尤拉显式公式和隐式公式及其局部截断误差,显式公式,隐式公式,若将这两种方法进行算术平均，即可消除误差 的主要部分/*leading term*/ 而获得更高的精度,称为梯形法, 梯形公式, 显、隐式两种算法的平均,2 龙格 - 库塔法,建立高精度的单步递推格式:在改进尤拉法和尤拉两步法预测-校正系统中,预测公式都是单步法,如果预测误差很小,则通过校正后得到的近似值误差会更小,因此需要研究高精度的单步法., 2阶RungeKutta Method,注：二阶Runge-Kutta公式用多算一次函数值f 的办法避开了二阶Taylor级数法所要计算的f 的导数。在这种意义上，可以说Runge-Kutta方法实质上是Taylor级数法的变形。, Gill公式：4阶经典龙格-库塔公式的一种改进, 最常用为四级4阶经典龙格-库塔法 /* Classical Runge-Kutta Method */ ：,3 微分方程组与高阶方程, 一阶微分方程组,IVP的一般形式为：,前述所有公式皆适用于向量形式。, 高阶微分方程,5 Systems of DEs and Higher-Order Equations,化作一阶微分方程组求解。,引入新变量,初值条件为：, 有限差分法 /* finite difference method */,6 Boundary -Value Problems,将求解区间a, b 等分为N 份，取节点 xi = a + ih (i = 0, , N )，在每一个节点处将 y 和 y 离散化。,偏微分方程:,令 h = 1/(n+1) , xj= jh, yj = jh ( i , j = 0,1, , n+1 ),记 ui,j= u(xi , yj ), ( i , j = 0,1, , n+1 ),( i,j = 1,n ),u0, j = 0,ui
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