研究生入学考试线性代数二次
3、二次型的矩阵及秩。Qt使得P1…PsAQ1…Qt...§3.1向量的概念及其运算1.设解。2.已知解。3.设解。4.写出向量的线性组合其中。(1)(2)(1)(2)5.设向量组问。(1)(2)(1)(2)5.设向量组问。向量可以由向量写出其表达式。但它们中存在两个线性无关的向量。
研究生入学考试线性代数二次Tag内容描述:<p>1、5.1二次型的概念,称为n元二次型.简称二次型。,每项都是二次的多项式称为二次型(或二次齐式),例如,都为实二次型;,2、二次型的表示方法,例1、将二次型,用矩阵表示。,3、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中,任给一个二次型, 就唯一地确定一个对称矩阵;反之,任给一个对 称矩阵,也可唯一地确定一个二次型这样,二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,解,例2,4、合同变换,设有一个可逆的线性变换,,定义5.2. 对于n阶矩阵A和B,如果存在n阶可逆矩阵C,使得B=CTAC,就称A合同于B,记作AB,对A进行运算称为对A进行合同变换.,矩阵间的合。</p><p>2、定理1 n阶矩阵可逆的充分必要条件是它可以表示为一些初等阵的乘积。,证:必要性:,由上一节知道,若A可逆,则经过若干次的初等变换可 化为I,即存在初等阵P1,Ps,Q1,Qt使得,P1PsAQ1Qt=I,由于初等阵的逆矩阵仍是初等阵,故A是初等阵乘积。,充分性:因初等阵可逆,故它们的乘积也可逆。,第三节 用初等变换求逆矩阵、矩阵的秩,一种求逆矩阵的方法:,若A可逆,则A-1也可逆,由上述定理,存在初等阵 G1,G2,Gk使得,(1)表明A仅经过行初等变换化为I,(2)表示I经过 同样的行初等变换化为A-1。,因而 (A I),行初等变换,(I A-1),一般做法。</p><p>3、3.1 向量的概念及其运算,1. 设,解:,第三章 习题答案,解:,2. 已知,解:,3. 设,解:,4. 写出向量,的线性组合,其中:,(1),(2),(1),(2),5. 设向量组,问:,向量 可以由向量,写出其表达式;,线性表示?若可以,,解: 设,解线性方程组,得向量 可以由向量,则有:,解方程组得:,线性表示,3.2线性相关与线性无关,一.判断下列向量组的线性相关性,(1),解:,由于与对应分量不成比例,所以与线性无关.,(2),解:,由于向量组中含有零向量,所以向量组线性相关,(3),解:,所以向量组线性无关.,(4),解:,即有,也即有,由于齐次线性方程组的系数行列式,齐次线性方程组有非零。</p><p>4、向量线性方程组特征值与特征向量 分量全为实数的向量称为实向量 分量全为复数的向量称为复向量 向量的定义 定义 向量的相等 零向量 分量全为0的向量称为零向量 负向量 向量加法 向量的线性运算 数乘向量 向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算 满足下列八条运算规则 除了上述八条运算规则 显然还有以下性质 若干个同维数的列 行 向量所组成的集合叫做向量组 定义 线性组合 定义 线性表示 定理 定义。</p><p>5、2019/4/2,1,线性代数第9讲,向量组的秩,2019/4/2,2,在R3中, 给定四个共面向量a1,a2,a3,a4, 它们显然是线性相关的, 但它们中存在两个线性无关的向量, 而任一个向量都可由这两个线性无关的向量线性表示(例如:a1,a2线性无关, a3,a4可由a1,a2线性表示). 此外它们中任意三个向量是线性相关的, 即它们中任一个线性无关的部分组最多只含2个向量, 数2就叫作这个向量组的秩.,2019/4/2,3,a1,a2,a3,a4,2019/4/2,4,定义6 如果向量组a1,a2,.,as中存在r个线性无关的向量, 且其中任一个向量可由这r个线性无关的向量线性表示, 则数r称为向量组的秩, 记作 秩。</p><p>6、06年线性代数试卷解答,一,填空题 1,已知正交矩阵P使得 则,06年线性代数试卷解答,解,因为P是正交矩阵,所以 ,所以 所以同理,06年线性代数试卷解答,2,设A为n阶方阵 , ,是A的N个特征根 则,06年线性代数试卷解答,解,因为 是A的N个特征根, 所以 所以,06年线性代数试卷解答,3设A是 矩阵, B是 m维列向量,则方程组 AX=B有无数多个解的充分必要条件是,06年线性代数试卷解答,解:首先A可看作为N个M维列向量,AX=B若有解即是B可由A的N个M维列向量线性表出,即使r(A)=r(A,B),又解的个数为无数个,故必须有r(A)=r(A,B)n,不难验证此即为所求的充分必。</p><p>7、目录 I 考查目标 2 II 考试形式和试卷结构 2 III 考查内容 2 IV 题型示例及参考答案 3 全国硕士研究生入学统一考试 线性代数考试大纲 I 考查目标 线性代数 考试是为我校招收相关专业硕士生而设置的具有选拔性质的考。</p><p>8、3.1 向量的概念及其运算,1. 设,解:,第三章 习题答案,解:,2. 已知,解:,3. 设,解:,4. 写出向量,的线性组合,其中:,(1),(2),(1),(2),5. 设向量组,问:,向量 可以由向量,写出其表达式.,线性表示?若可以,,解: 设,即,所以向量 可以由向量,则有:,解方程组得:,线性表示,3.2线性相关与线性无关,一.判断下列向量组的线性相关性,(1),解:,由于与对应分量不成比例,所以与线性无关.,(2),解:,由于向量组中含有零向量,所以向量组线性相关,(3),解:,向量组线性无关.,(4),解:,即有,也即有,由于齐次线性方程组的系数行列式,齐次线性方程组有非零解,由于,方法2。</p><p>9、班级 姓名 学号第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)(2)2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:(1)2 4 1 3;(2)1 3 2 4 ;(3)1 3 2.解(1)逆序数为3. (2)逆序数为.(3)逆序数为.3.写出四阶行列式中含有因子的项.解 由定义知,四阶行列式的一般项为,其中为的逆序数由于已固定,只能形如,即1324或1342.对应的分别为或和为所求.4.计算下列各行列式:解(1)=0(2)=(3) = =5、证明:(1)(2) (3) =(4) 用数学归纳法证明假设对于阶行列式命题成立,即所以,对于阶行列式命题成立。</p><p>10、钻石卡辅导:2012考研数学重要知识点解析之线性代数(五)万学海文特征值、特征向量是考试的重点,主要包括三部分内容:特征值、特征向量;相似对角化;实对称矩阵。在这里,万学海文数学钻石卡考研辅导专家们为2012年考研的铜须门详细阐述如何判断矩阵的相似对角化。下面万学海文数学钻石卡考研辅导老师们给出判断矩阵是否可相似对角化的解题步骤:1、 若矩阵是实对称矩阵,则矩阵可相似对角化;若矩阵不是实对称矩阵,则2、由特征多项式求出矩阵的特征值;3、若特征值互异,则矩阵可相似对角化;4、若有重特征值,计算的秩,对每个重特。</p><p>11、习题111计算下列行列式1;7415COSIN23IXYZX2COS10402COSXX5。XYX解1751431;74152;D31XYZYZXX。3310YZXYZXXYZX422COS014COSS1102COSXX。234COS84COS1X5XY2YXYXYX3YX32Y2用行列式方法求解下列线性方程组1;2。1528XY1231454X解1,12331,10,952858DD120,9XX213345,4527,100,2423,813D。129,6DXXX3求下列各排列的逆序数134215;2132N12N2N22。解1T2215212121TN4写出四阶行列式中含有因子A11A23的项。解123434124TTIJPPPAAAP3P4是2,4的全排列,即24,42,故131234,TTA即,。124A5证明。123211212100NNNNNNNADAAAA按行列式定义即可证明(略)。</p>