用正交变换化二次型为标准型

用正交变换化二次型为标准型Tag内容描述：<p>1、用正交变换化二次型为标准形，其特点是用正交变换化二次型为标准形，其特点是 保持几何形状不变保持几何形状不变 下面介绍一种有效的方法下面介绍一种有效的方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法 第六节第六节 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形 一、拉格朗日配方法的具体步骤一、拉格朗日配方法的具体步骤 1 1、二次型中含有平方项、二次型中含有平方项 2 2、二次型中不含有平方项、二次型中不含有平方项 1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经。</p><p>2、第三节 用正交变换化二次型为标准形,一、正交变换,二、利用正交变换化二次型为标准形,下页,一、 正交变换,定义1 设P为n阶正交矩阵，X、Y是 中的n维向量，,称线性变换 XPY 是 上的正交变换.,性质：,（1）正交变换是可逆线性变换；,（2）正交变换不改变向量的内积.,定理2 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的.,定理1 实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵A的 ri 重特征值 li 对应 ri 个线性无关的特征向量.,下页,定理3 设A为n 阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P使,其中,为A的n个特征值，,正交矩阵P的n个列向量,是矩阵A对应于这n个特。</p><p>3、第5节 用正交变换化二次型为标准形,一、正交变换,二、利用正交变换化二次型为标准形,下页,5.1 正交变换的概念与性质,定义1 设P为n阶正交矩阵，X,Y是都是n维向量，称线性变换,性质1 正交变换是可逆线性变换；,性质2 正交变换不改变向量的内积.,下页,XPY,为正交变换.,正交变换的概念,正交变换的性质,证明：因为,5.2 实对称矩阵的性质,定理2 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的.,定理1 实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵A的 ri 重特 征值li 对应 ri 个线性无关的特征向量.,下页,定理3 设A为n 阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P 。</p><p>4、第三节 用正交变换化二次型为标准形,第六章,1.正交变换法 2.小结 3.思考与练习,一、正交变换法,定义.,定理.,使得,- 2 -,- 3 -,用正交变换化二次型为标准形的步骤,则,为正交矩阵, 且,- 4 -,例2.,求一个正交变换,化为标准形,并求正交变换矩阵.,解：,把二次型,二次型的矩阵为：,其特征多项式为：,- 5 -,把第2,3,4列都加到第1列上,有,把第2,3,4行分别减去第1行,有,- 6 -,按第1列展开,按最后1行展开,得,- 7 -,解方程组,得基础解系为：,- 8 -,将,单位化得：,- 9 -,于是，正交矩阵为,- 10 -,例3.,用正交变换将二次型,化为标准形,并求正交变换矩阵。</p>