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第三节 用正交变换化二次型为标准形,第六章,1.正交变换法 2.小结 3.思考与练习,一、正交变换法,定义.,定理.,使得,- 2 -,- 3 -,用正交变换化二次型为标准形的步骤,则,为正交矩阵, 且,- 4 -,例2.,求一个正交变换,化为标准形,并求正交变换矩阵.,解：,把二次型,二次型的矩阵为：,其特征多项式为：,- 5 -,把第2,3,4列都加到第1列上,有,把第2,3,4行分别减去第1行,有,- 6 -,按第1列展开,按最后1行展开,得,- 7 -,解方程组,得基础解系为：,- 8 -,将,单位化得：,- 9 -,于是，正交矩阵为,- 10 -,例3.,用正交变换将二次型,化为标准形,并求正交变换矩阵.,解：,二次型的矩阵为：,对应的线性无关的特征向量为,- 11 -,于是，正交矩阵为：,所以，原二次型在正交变换,下可化为标准形：,- 12 -,用正交变换化实二次型为标准形(主轴定理),它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。即将二次曲线和二次曲面的方程变形(化为标准形方程),选有主轴(正交矩阵的列向量)方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。,例如,画图,特征值和对应的正交单位特征向量为,二次型的矩阵为：,用正交变换化实二次型为标准形的应用,- 13 -,所以，正交矩阵为：,且在正交变换x=Ty下,原二次型化为标准形：,因此双曲线,的图形为以,方向为主轴方向的双曲线,即标准位置双曲线的旋转,- 14 -,- 15 -,图形(如下图所示)。,- 16 -,用正交变换化二次型为标准形的步骤：,为正交矩阵。,1.求一正交变换,将二次型,化为标准形,并求正交变换矩阵.,解：,二次型的矩阵为：,- 17 -,- 18 -,于
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