原函数与不定积分

原函数与不定积分Tag内容描述：<p>1、第四节 原函数与不定积分 一、主要定理和定义 二、典型例题 三、小结与思考 1 一、主要定理和定义 定理一 由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点和 终点有关, (如下页图) 1. 两个主要定理: 2 3 定理二 证利用导数的定义来证. 4 由于积分与路线无关, 5 6 由积分的估值性质, 7 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导 定理完全类似. 证毕 8 2. 原函数的定义: 原函数之间的关系: 证 9 那末它就有无穷多个原函数, 根据以上讨论可知: 证毕 10 3. 不定积分的定义: 定理三(类似于牛顿-莱布尼兹公式) 11 证 根据柯西-古萨基本定理, 。</p><p>2、第四章 不定积分,第一节 原函数与不定积分的概念,一、原函数与不定积分的概念,定义 1 如果在区间I 内，可导函数 的导函数为 ，即对 ，都有,或,则就称 为 在区间 I 上的原函数.,例如 ，故,问题1：原函数的存在性问题:,定理1(原函数存在定理) 定义在区间 I 上的 连续函数 在 I 上一定有原函数.,即：连续函数必有原函数.,问题2：原函数的惟一性问题:,(待证),定理2 如果函数 在区间I上的原函数存在, 则它的任意两个不同的原函数只相差一个常数.,若 为 的原函数，则 的所有 原函数的集合为：,证 若 和 都是 的原函数,（ 为任意常数）,定义2 若 。</p><p>3、3.2 函数的原函数与不定积分,引例3.4,引例3.5,3.2.1 原函数与不定积分的概念,案例3.9,案例3.10,案例3.11,3.2.2 基本积分公式,3.2.2 基本积分公式,3.2.3 不定积分的运算法则,案例3.12,案例3.13,案例3.14,案例3.15,课堂练习,1、已知某产品生产Q个单位时，边际收益为RM(Q)200-Q/100，Q=0. (1)求生产了50个单位时的总收益Rr； (2)如果已经生产了100个单位，求再生产100个单位时的Rr.,参考答案,课堂练习,2、设某商品的需求函数为:Q(28-p)/5，其中Q为需求量，P为价格.总成本函数为:Cr(Q)Q2+4Q，问生产多少单位的产品时利润最大?,参考答案,参考答。</p><p>4、8-1 不定积分概念与 基本积分公式,一、原函数,不定积分是求导运算的逆运算.,四、基本积分表,三、不定积分的几何意义,二、不定积分,返回,微分运算的逆运算是由已知函数 f (x), 求函数F(x),一、原函数,例如,定义1,例1,数:,从(iii) (iv)可以看出, 尽管象,研究原函数有两个重要的问题:,1. 满足何种条件的函数必定存在原函数? 如果存,2. 若已知某个函数的原函数存在, 如何把它求出,这种形式简单的函数,要求出它们的原函数也不是,一件容易的事.,在原函数,它是否惟一?,来?,第一个问题由以下定理回答.,定理8.1 (原函数存在性定理),在第九章中将证。</p><p>5、第五讲 原函数与不定积分 Cauchy积分公式 解析函数的高阶导数,1. 原函数与不定积分的概念 2. 积分计算公式,3.4 原函数与不定积分,1. 原函数与不定积分的概念,由2基本定理的推论知：设f (z)在单连通区域B内解析，则对B中任意曲线C, 积分c fdz与路径无关，只与起点和终点有关。,当起点固定在z0, 终点z在B内变动,c f (z)dz 在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作,定理 设f (z)在单连通区域B内解析，则F(z)在 B内解析，且,上面定理表明 是f (z)的一个 原函数。,设H (z)与G(z)是f (z)的任何两个原函数，,2. 积分计算公式,定义 设F(z)是f (z)。</p><p>6、8-1不定积分概念与基本积分公式,一、原函数,不定积分是求导运算的逆运算.,四、基本积分表,三、不定积分的几何意义,二、不定积分,返回,微分运算的逆运算是由已知函数f(x),求函数F(x),一、原函数,例如,定义1,例1,数:,从(iii)(iv)可以看出,尽管象,研究原函数有两个重要的问题:,1.满足何种条件的函数必定存在原函数?如果存,2.若已知某个函数的原函数存在,如何把它求出,这种形式简。</p><p>7、例,定义：,一、原函数与不定积分的概念,原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数.,问题：,(1) 原函数是否唯一？,例,（ 为任意常数）,(2) 若不唯一它们之间有什么联系？,关于原函数的说明：,（1）若 ，则对于任意常数 ，,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（ 为任意常数）,证,（ 为任意常数）,不定积分的定义：,例1 求,解,解,例2 求,例3 设曲线通过点。</p><p>8、第四章 不定积分,第一节 原函数与不定积分,第二节 积分法,换元积分法 分部积分法,有理函数的积分,第一节 不定积分的概念与性质,原函数与不定积分的概念,基本积分表,不定积分的性质,一、 原函数与不定积分的概念,定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x),满足,在区间 I 上的一个原函数 .,则称 F (x) 为f (x),问题:,1. 在什么条件下, 一个函数的原函。</p><p>9、第一，第四章不定积分第一节原函数和不定积分1，原函数和不定积分概念2，基本积分表3，不定积分性质4，摘要斜视试验问题，2，通过对诱导和微分的学习，可以从函数yf(x)出发求，所以我们用函数导数f(x)，微分法：积分法：互逆运算，1，原函数和不定积分概念，3，是，定义：4，问题3360，1。在什么条件下函数原函数存在？2 .如果原始函数存在，会如何显示？初等函数在定义区间是连续的，初等函数在定义区。</p>