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文档简介
第四章 不定积分,第一节 原函数与不定积分的概念,一、原函数与不定积分的概念,定义 1 如果在区间I 内，可导函数 的导函数为 ，即对 ，都有,或,则就称 为 在区间 I 上的原函数.,例如 ，故,问题1：原函数的存在性问题:,定理1(原函数存在定理) 定义在区间 I 上的 连续函数 在 I 上一定有原函数.,即：连续函数必有原函数.,问题2：原函数的惟一性问题:,(待证),定理2 如果函数 在区间I上的原函数存在, 则它的任意两个不同的原函数只相差一个常数.,若 为 的原函数，则 的所有 原函数的集合为：,证 若 和 都是 的原函数,（ 为任意常数）,定义2 若 为 在区间 I 上的原函数， 则称原函数族,（ 为任意常数）,为 在 I 上的不定积分，记为,称为积分变量,-原函数族,例1 求 .,解,例2 求 .,解,例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解,设曲线方程为 ，,根据题意知,由曲线通过点（1，2），故有 .,因而，所求曲线方程为,所以,注（）的几何意义：考虑曲线（）， 使得 则（）,这是一簇由一条积分曲线 沿纵轴上下平移 得到的在横坐标相同的点 处的切线是平行的,(2) 由不定积分的定义，可知,结论 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,例如,(1),(2),(3),二、 基本积分表,(5),(12),(13),例4 求积分 .,解,三、 不定积分的性质,证,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,注:(1)求积分是利用积分表和积分性质来试,要变形,技巧大.,设法变形为积分表中函数的线性组合形式, 以求出积分的方法称为直接积分法.,(2)不是所有函数都肯定能积分出来.,往往逆运算都要打破原有体系。,例5 求积分 .,解,例6 求积分 .,解,例7 求积分,解,课堂练习,7、,8、,二、符号函数,在 内是否存在原函数？为什么？,没有原函数。反证:假如有原函数。则,结论,每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.,以上讨论的是跳跃间断点，若x0是可去间断点。,函数 含有第二类间断点x=0,但它有原函数 .,思考：若第二类呢？,三、 下列正确的是:,C,四
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