与线性无关.

与线性无关.Tag内容描述：<p>1、2 线性相关与线性无关,向量 向量组与矩阵,线性相关性的概念,线性相关性的定理,小 结 思 考,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,例如,一、向量、向量组与矩阵,n维列向量组 可以排成一个mn分块矩阵,向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组,n维行向量组 可以排列成一个mn分块矩阵,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,注意,定义,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,二、线性相关性的概念,6 当 是行向量组时，它们线性相关就是指有非零的1s矩阵（k1,k2,ks）使,7当 为列向量时，它们线性相关。</p><p>2、注意,定义1,一、线性相关与线性无关的概念,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,2.2 线性相关与线性无关,向量 能 由向量组 线性表示,定义2,例：设,那么,就是b的线性组合，其中2，3,7是线性组合的系数。,定理1,定理2 向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示,证明,充分性,设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表。</p><p>3、9 线性相关与线性无关 教学要求 掌握线性相关与线性无关的定义 并能够判断向量组的线性相关性 知识要点 一 定义与例子 定义 9 1 对向量组 如果存在一组不全为零的数 使得 那么 称向量组 线性相关 如果这样的 个数不。</p><p>4、3.2 向量组的线性相关与线性无关,定义,线性组合,一、线性组合的概念,线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应,向量 能 由向量组 线性表示,例如：,有,所以，称 是 的线性组合， 或 可以由 线性表示。,注意,定义,二、线性相关性的概念,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,线性相关性在线性方程组中的应用,结论,显然，如果齐次线性方程只有零解，则对该方程增加若干方程后仍有零解，由此我们得到如下命题,说明,增加方程个数相当于向量 增加分量，但向量组所含向量的个数不变,由于线性方程组的解与方程组中方程。</p><p>5、向量组线性相关与线性无关的判别方法摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法.关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩 1 引言在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成。</p><p>6、3.2 向量组的线性相关 与线性无关,一、线性组合的概念,定义1：,和向量,如果存在一组实数,使得,则称向量 是向量组A的线性组合，,给定向量组,或称向量 能由向量组A线性表示。,例如：,有,所以，称 是 的线性组合， 或 可以由 线性表示。,线性方程组的矩阵表示和向量表示：,令,方程组可表示为,其中,若记,即,为方程组的系数列向量,则方程组的向量表示为,即,则线性方程组是否有解。</p><p>7、向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设，称为的一个线性组合。【备注1】按分块矩阵的运算规则，。这样的表示是有好处的。2.线性表示设，如果存在，使得则称可由线性表示。，写成矩阵形式，即。因此，可由线性表示即线性方程组有解，而该方程组有解当且仅当。3.向量组等价设，如果中每一个向量都可以由线性表示，则称向量组可以由向量组线性表示。如果向量组。</p><p>8、第3.4节向量组的极大线性无关组,线性代数,主要内容:,一等价向量组,二向量组的极大线性无关组,三向量组的秩与矩阵秩的关系,一、等价向量组,即,自反性：一个向量组与其自身等价；,对称性：若向量组与等价，则和等价；,传递性：,等价向量组的基本性质,(2),则向量组必线性相关。,推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。,二、向量组的极大线性无关组,定义2:,注:,（1）只含零向。</p><p>9、定理1:,复习n维向量及线性相关性,或者，令,定义：,或者，令,推论2： mn时， m 个n维向量必线性相关.,推论3： n个n维向量线性无关,即 它们所构成方阵的行列式不为零.,（注：m个未知数，却只有n个方程）,例4的等价命题是: 若向量组a1,a2,.,am线性无关, 则其任一部分组都是线性无关的.,例4 证明:若向量组a1,a2,.,am中有一部分向量线性相关, 则该向量组线性。</p><p>10、. . .向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设，称为的一个线性组合。【备注1】按分块矩阵的运算规则，。这样的表示是有好处的。2.线性表示设，如果存在，使得则称可由线性表示。，写成矩阵形式，即。因此，可由线性表示即线。</p><p>11、第二节 向量组的线性相关性与线性无关性,定义1 设1 ，2 ，m ，是一组n维向量， 若存在m个实数 k1 ，k2 ，km使得 = k11 + k2 2 + + km m ，则称可以 由1 ，2 ，m线性表示( linear representation )。或称1 ，2 ，m线性 表示(linear generate)。 例如：1 = (1, 2, 0) T，2 = (1, 0, 3) T, 3 = (3, 4, 3)T，则3 = 21 + 2 ，即存在 实数k12，k21使得3 = k11 + k22，故3 可以由1 ，2线性表示。（大家想一想，这里的常 数k1 2，k21是怎么求出来的？）,定义2 设1 ，2 ，m是一组n维向量， 如果存在m个不全为0的常数k1，k2，km使得 k1 1 + k2 2 + +。</p><p>12、定理1:,复习n维向量及线性相关性,或者，令,定义：,或者，令,推论2： mn时， m 个n维向量必线性相关.,推论3： n个n维向量线性无关,即 它们所构成方阵的行列式不为零.,（注：m个未知数，却只有n个方程）,例4的等价命题是: 若向量组a1,a2,.,am线性无关, 则其任一部分组都是线性无关的.,例4 证明:若向量组a1,a2,.,am中有一部分向量线性相关, 则该向量组线性相关.,证 不妨设a1,a2,.,ar线性相关(rm), 于是有不全为零的数 k1,k2,.,kr使 k1a1+k2a2+.+krar=0,从而有 k1a1+k2a2+.+krar+0ar+1+.+0am=0,这就证明了a1,a2,.,as线性相关.,对一向量组, 如。</p><p>13、1,线性相关与线性无关,2,3,4,一、基本概念,定义（线性相关/线性无关）,5,注,6,例:,7,二、几类典型问题求解,1、给定确定的向量组，判别它们是否线性相关或线性无关 2、证明类，给定符号表达的向量组的相关性,8,1、给定确定的向量，判别是否线性相关或线性无关,； 例：,9,10,11,12,总结：,13,14,15,。,线性无关。,； 例：,； 解：,16,； 例：,； 解：行向量的处。</p>