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3.2 向量组的线性相关与线性无关,定义,线性组合,一、线性组合的概念,线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应,向量 能 由向量组 线性表示,例如：,有,所以，称 是 的线性组合， 或 可以由 线性表示。,注意,定义,二、线性相关性的概念,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,线性相关性在线性方程组中的应用,结论,显然，如果齐次线性方程只有零解，则对该方程增加若干方程后仍有零解，由此我们得到如下命题,说明,增加方程个数相当于向量 增加分量，但向量组所含向量的个数不变,由于线性方程组的解与方程组中方程的次序无关，由此我们得到如下命题,说明,改变方程的次序相当于改变向量 的各分量的次序。,解,设存在一组数 ，使得,按照向量的数乘、加法运算可得,根据向量相等的定义，即有,所以 线性无关,对于任意给定的n维向量,解,假设存在 x, y, z，使得,即,由向量相等的定义得,容易验证 x=1, y=1, z= -1是上述方程的一组非零解,即存在一组不全为零的数 1，1，1使,所以 线性相关,证,解,设存在四个数 ，使得,即,由向量的线性运算及向量相等的定义得,应用克莱姆法则解此方程组,解得,所以,. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；,. 线性相关与线性无关的概
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