正定二次型和正定矩阵

正定二次型和正定矩阵Tag内容描述：<p>1、中南财经政法大学信息系 第六章 二次型 一、正(负)定二次型的概念 定义6.6 具有实对称矩阵A的n元二次型为 1) 如果对于任意的非零向量 ，都有 （或0）成立，那么称二次型为正定 1) （负定）二次型，A为正定（负定）矩阵。 2) 如果对于任意非零向量 ，都有 （或 ）成立，并且存在某向量X0,使得 那么称二次型为半正定（半负定）二次型，A为 2) 半正定（半负定）矩阵。 3）如果对某向量 ，有 ，而对另一 向量 ，有 ，则称该二次型为不定 二次型。矩阵A称为不定矩阵。 例如 准则1 对称矩阵A为正定的充分必要条件是： A的 特征值全为正 二、正(。</p><p>2、1 1 4 正定二次型和正定矩阵 一、基本概念 二、正定矩阵的充分必要条件 三、正定矩阵的性质 2 2 一、基本概念 定义 设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非 零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二次 型f为正定的，其矩阵A 称为正定矩阵. 定义 如果对于任意向量X，二次型f=XTAX均为 非负(非正)数，则称二次型f为半正(负)定的， 其矩阵A 称为半正(负)定矩阵. 定义 如果实二次型f=XTAX对于某些向量X为 正数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二 次型是不定的. 3 3 例 4 4 二、正定矩阵的充分必要条件 定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是其 。</p><p>3、1 第三节 2 一、正定二次型正定矩阵 定义 由定义义，可得以下结论结论 ： 充分性是显显然的；下面用反证证法证证必要性： 代入二次型，得 3 由上述两个结论结论 可知，研究二次型的正定性，只要 通过过非退化线线性变换变换 ，将其化为标为标 准形，就容易由以 下定理判别别其正定性。 4 定理 推论 实对实对 称矩阵阵A正定的充分必要条件是A的特征值 值 全为为正。 正定矩阵。 这是因为： 5 解 例1 判别二次型 是否正定。 二次型对应对应 的矩阵为阵为 ,)14)(2( 2 +-=lll 6 全为为正， 因此二次型正定。 7 定理设矩阵A正定，则则 （1）A的。</p>