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中南财经政法大学信息系 第六章 二次型 一、正(负)定二次型的概念 定义6.6 具有实对称矩阵A的n元二次型为 1) 如果对于任意的非零向量 ，都有 （或0）成立，那么称二次型为正定 1) （负定）二次型，A为正定（负定）矩阵。 2) 如果对于任意非零向量 ，都有 （或 ）成立，并且存在某向量X0,使得 那么称二次型为半正定（半负定）二次型，A为 2) 半正定（半负定）矩阵。 3）如果对某向量 ，有 ，而对另一 向量 ，有 ，则称该二次型为不定 二次型。矩阵A称为不定矩阵。 例如 准则1 对称矩阵A为正定的充分必要条件是： A的 特征值全为正 二、正(负)定二次型的判别 证明 必要性 充分性 推论1 n元实二次型正定的充要条件是其正惯性指 数为n. 对负定矩阵也有类似结论： 准则二 实对称矩阵A正定的充分必要条件为A合同于单 位阵E. 证明: 若二次型正定,则A的特征值全部为正 推论1 对称矩阵为正定矩阵的充要条件是其存 在可逆矩阵C 使得A=CTC. 若A与单位阵合同，则存在可逆矩阵C,使A= CTEC= CTC，则对于非零向量x 推论2 对称矩阵为正定矩阵，则A的对角线上 的元素均大于零。 准则3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶主子式为正，即 对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即 例1 判别二次型 是否正定. 解 它的顺序主子式 故上述二次型是正定的. 例2 判别二次型 是否正定. 解 二次型的矩阵为 用特征值判别法. 故此二次型为正定二次型.即知 是正定矩阵， 例3 判别二次型 的正定性. 解 例4 当 取何值时，实二次型 是正定二次型 解 实二次型的矩阵为 为了使 为正定二次型， 式都应大于零，即 的各阶顺序主子 由 可得 ， 于是当 时， 二次型 为正定 例5设为可逆矩阵,证明 是正定二次型. 证显然即 令 则 对任意 因可逆, 所以 故 即 是正定二次型. 正定矩阵具有以下一些简单性质 2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (3)顺次主子式判别法； (2)特征值判别法. 1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系 3. 根据正定二次型的判别方
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