中值定理及导数的应用

中值定理及导数的应用Tag内容描述：<p>1、二、 导数应用,习题课,一、 微分中值定理及其应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,中值定理及导数的应用,第三章,一、 微分中值定理及其应用,1. 微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 微分中值定理的主要应用,(1) 研究函数或导数的性态,(2) 证明恒等式或不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 有关中值问题的解题方法,利用逆向思维 , 设辅助函数 .,一般解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个。</p><p>2、微分中值定理与导数的应用,中值定理,洛必达法则,泰勒公式,导数的应用,学习重点,理解罗尔定理,掌握拉格朗日中值定理及其推论,罗尔定理 Rolle Theorem,(1) 在闭区间 上连续,(3),罗尔定理的几何意义,连续曲线 y = f (x)的弧AB除端点外处处具有不垂直x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，则曲线弧上至少存在一点C，使得曲线在该点处的切线是水平的.,罗尔定理的证明,证明 因为函数在a,b上连续，所以函数在a,b上一定有最 大值M和最小值m.,如果M=m，则,则在区间内部的任何点处，都有,如果mM，则在区间内部至少有一点 ，使得,不妨设,则,所以,例1 。</p><p>3、函数的单调性的判别,学习重点,函数极值及最值的确定方法,曲线凹凸向的判别及拐点的确定,函数的单调性,函数单调递增，则,函数单调递减，则,由Lagrange中值定理：,于是有函数单调性的判别定理,函数单调性的判别定理,（1） 如果函数 在 内有 ，则函数在 上是单调递增的。,（2） 如果函数 在 内有 ，则函数在 上是单调递减的。,例1 判别函数 的单调性。,解 因为,所以，函数在 内是单调递增的。,设函数 在 上连续，在 内可导，则,例2 求函数 的单调区间,解 因为,令,得驻点,列表讨论,所以，函数在 及 内单调增加，在 内单调减少。,例3 求函数 的。</p><p>4、洛必达法则计算极限,学习重点,洛必达法则,则 或同为,即在定理的条件下，未定式 的极限定值，可转化为其导函数之商的极限。,说明： （1）当 时的情形，洛必达法则也成立；,（2）若 ，即 类的极限定值，也有 洛必达法则；,（3）法则只能解决 存在时，未定式 的定值问题。 即如果 不存在，也不是 ，则法则失效。,例1 求下列极限,型,型,型,解 原式,解 原式,解 原式,例2 求极限,解 这是 型的未定式，且当 时，,所以，原式,适当使用等价无穷小替换，再使用洛必达法则，可简化极限运算。,练习,例3 证明极限 存在，但不能使用洛必达法则。,证明,但。</p><p>5、3.中值定理及导数的应用,(二),【曲线的渐进线】,一、渐近线的定义,若曲线上的一点沿着曲线趋于无,穷远时，该点与某条直线的距离趋于,零，则称此直线为曲线的渐近线。,二、渐近线的分类,中值定理及应用,(一)、水平渐近线,如下图：,中值定理及应用,间，且有,定义,或,中值定理及应用,解：,是曲线的一条水平渐近线。,如下图：,中值定理及应用,中值定理及应用,(二)、铅垂渐近线,如下图：,中值定理及应用,定义,或,或垂直渐进,线.,中值定理及应用,解：,是曲线的一条铅垂,渐进线。,中值定理及应用,中值定理及应用,(三)、斜渐近线,如下图：,中值定。</p><p>6、第三章 中值定理及导数的应用,3.1 中值定理,3.2 罗必塔法则,3.3 函数的单调性,3.4 函数的极值,3.5 函数的最值,3.6 函数的凹凸性及拐点，函数的图像,一、主要内容,中值定理,1.罗尔定理: P63,满足条件:,如果函数,2.拉格朗日定理：P64,满足条件:,如果函数,例题：P66 例1，2,罗必塔法则：P67,68,则,1.认真掌握课本P68-69的例题,2.独立完成P70 的习题（用罗必塔法则求极限）,（2）,解：,（1）,解：,例求下列极限,（3）,解：,（4）,解法1：(对数法）,设,所以,解法2：(指数法）,导数的应用,1. 切线方程和法线方程：,2. 曲线的单调性: P71 定理1,。</p><p>7、第三章 中值定理和导数的应用,第三章 中值定理和导数的应用,数学家-伯努利家族,第一节 微分中值定理,第二节 洛必达法则,第三节 函数的单调性急值和最大最小值,第四节 曲线的凹凸性和函数作图,第五节 弧微分 曲率,数学家-伯努利家族,第一节 微分中值定理,第二节 洛必达法则,第三节 函数的单调性极值和最大最小值,第四节 曲线的凹凸性和函数作图,第五节 弧微分 曲率,伯努利家族，这个非凡的瑞士家族产生过十一个数学家的家族。伯努利家族在数学与科学上的地位正如巴赫家族在音乐领域的地位一样地显赫。（其中三位是杰出的，他们是雅可布、约。</p><p>8、函数的单调性的判别,学习重点,函数极值及最值的确定方法,曲线凹凸向的判别及拐点的确定,函数的单调性,函数单调递增，则,函数单调递减，则,由Lagrange中值定理：,于是有函数单调性的判别定理,函数单调性的判别定理,（1） 如果函数 在 内有 ，则函数在 上是单调递增的。,（2） 如果函数 在 内有 ，则函数在 上是单调递减的。,例1 判别函数 的单调性。,解 因为,所以，函数在 内是单调递增的。,设函数 在 上连续，在 内可导，则,例2 求函数 的单调区间,解 因为,令,得驻点,列表讨论,所以，函数在 及 内单调增加，在 内单调减少。,例3 求函数 的。</p><p>9、分院 专业 班级 姓名 学号 封 装 线 海南大学三亚学院 高等数学 经管类 课程单元自测题 第三章 中值定理与导数应用 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 标准分 得 分 一 填空题 共 分 每题 分 1 已知函数处处可导。</p><p>10、3 导数的应用,一、单调性的判别法,定理1,第四章 中值定理及导数的应用,证,应用 L定理, 得,证毕。,例1,解,注意: 函数的单调性是一个区间上的性质, 要用导数 在这一区间上的符号来判定 , 而不能用一点处的导数 符号来判别一个区间上的单调性 .,问题: 如上例, 函数在定义区间上不是单调的, 但在 各个部分区间上单调.,定义: 若函数在其定义域。</p>