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1、,3 导数的应用,一、单调性的判别法,定理1,第四章 中值定理及导数的应用,证,应用 L定理, 得,证毕。,例1,解,注意: 函数的单调性是一个区间上的性质, 要用导数 在这一区间上的符号来判定 , 而不能用一点处的导数 符号来判别一个区间上的单调性 .,问题: 如上例, 函数在定义区间上不是单调的, 但在 各个部分区间上单调.,定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则 该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点, 可能是单调区间的分 界点.,方法:,例2,解,单调区间为,例3,解,单调区间为,例4,证,单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或
2、无限区间, 结论仍然 成立.,应用: 利用函数的单调性可以确定某些方程实根的 个数和证明不等式 .,小结:,二、函数的极值,定义,函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数取得极值 的点称为极值点 .,定理2 (必要条件),定义,注意:,例如,极值存在的必要条件和充分条件:,定理3 (第一充分条件),(是极值点情形),(不是极值点情形),例5,解,列表讨论如下:,极大值,极小值,f (x)图形如右:,定理4 (第二充分条件),证,同理可证 (2) .,证毕。,例6,解,图形如上:,例7,解,注意: 函数的不可导点, 也可能是函数的极值点 .,三、曲线的凹凸性与拐点,问题: 如何研究曲线的 弯曲方
3、向?,图形上任意弧段位 于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,定义,定理5,下面讨论曲线凹凸性的判定方法:,例8,解,注意到,拐点的定义:,连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点 .,例9,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,例10,解,四、函数图形的描绘,1. 铅直渐近线,先讨论渐近线的问题:,2. 水平渐近线,利用函数特性描绘函数图形的步骤 :,第一步,第二步,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线, 以及其他变化趋势 ;,第五步,第五步,例11,解,无奇偶性及周期性.,列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,极大值,极小值,例12,解,非奇非偶函数, 且无对称性.,
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