期末试题解答07.doc

清华大学本科生考试试题专用纸微积分期终考试A卷2006年1月8日姓名学号班级一、填空题（每空题3分，共39分）1曲面122zyx在点)1,1,1(的切平面方程是0322zyx.2设f为连续可微函数，2)1(f.令)(),(2yzxfzyxg，则)1,1,1(g(4,2,2)。解：4)1,1,1(xg，2)1,1,1(yg，2)1,1,1(zg.)2,2,4()1,1,1(g3设S为球面4222zyx上的不与坐标轴相交的一片，则S上的点),(zyx的外侧单位法向量是2),(zyx；如果S的面积等于A，则SzyxyxzxzyddddddS23.解：zkyjxiv,),(21zyxn.23nv.原积分SSS23d23.4常微分方程052yyy的通解为)2sin2cos(21xcxceyx。5设常微分方程xyxyxy2sinsincos有三个线性无关解)(1xy，)(2xy和)(3xy则微分方程0sincosyxyxy的通解是)()()()(312211xyxyCxyxyC.6假设函数)(ty满足方程tyyycos1则ttyt)(lim0。7设空间光滑曲面S的方程为),(yxfz，222yx，上侧为正其中函数),(yxf有连续的偏导数则Syxyxdd)(222。解：Syxyxdd)(222dd20320rr.8设1|),(2222yxzyxzyx，则三重积分zyxzyxfddd),(可以化成球坐标系下的累次积分4021020dsin)cos,sinsin,cossin(ddf.9D是由曲线xyln、直线ex，以及x轴围成的平面区域，则Dyxxdd解：Dyxxdde1ln0e1dlnddxxxyxxx21144e10锥面22yxz含在柱面4)2008()2007(22yx内部的面积等于24。11设L为曲线)0(222yxyx，则lxLd222。lxLd2222d1d)2(12d221122020202022xxxxxxxxxxxxx二、解答题12(分)是锥面222zyx与平面2z围成的空间区域计算.ddd)32(zyxzyx解.解法：先一后二：由对称性有zyxzzyxzyxdddddd)32(分zyxzddd242222dddyxyxzzyx22dddrrzzrr分22020dddrzzrr202)d4(rrr4)412(2042rr.分解法：先二后一：zyxzzyxzyxdddddd)232(分20ddzddddzDyxzzyxz其中zD是区域222zyx，分20ddzdzDyxz4dz203z分13（分）设S是抛物10,)(2122zyxz在S任意点一点),(zyx的质量密度为221yx求S的质心解.求质量：SSSyxmMd1d22分.dd111222222yxyxyxyx分4d)1(d20220rrr分静力矩有对称性知道0yxJJ分SSzSyxzmzJd1d22分222222222dd11)(21yxyxyxyxyx分37d)1(d21202220rrrr分质心的z坐标127MJzz分有同学理解成三重积分。如果质量和静力矩写到下面的结果：MJzyxz,0,0.dzrrdrdMr1220202211，dzrzrdrdJrz1220202211则可以得8分。其后视具体情形而定.1(10分)如图，L是有向光滑曲线，起点为原点O，终点为)2,2(A已知L与线段OA围成的区域D的面积等于A)(tf有连续导数计算曲线积分yxyxyyxLxd)4e2(d)2e(2解：根据格林公式得到分5.2dd2dd)22()42(d42d2)(2AyxyxyeyeyxyexyeyDDxxxxLOA于是yxyexyeyxxLd42d22分7.2d42d22AyxxexyeyxxOA对于后一个积分，取x为参数xy，20x124)3(d)62(d42d2220222022exexxxxeexyxyexyeyxxxxxOA.10分15(8分)设L为平面:S1zyx在第一卦限中的部分的边界，方向是)0,0,1()1,0,0()0,1,0()0,0,1(ACBA空间有一个力场kxjziyzyxF62),(求单位质点P在L上某点出发，绕L运动一周时，F对于质点所做的功解：设S上侧为正由斯托克斯公式,单位质点P在L上某点出发，绕L运动一周时，F对于质点所做的功等于SkjixzyzyxkjilkxjziySLd362d)62(.3分分分8.25dd335.6.d351010xyxSyxS16(10分)设)(xf在),(上有二阶连续导数且.1)0()0(ff又设对于空间3R中的任意一张光滑的闭合曲面S，都有0dd2dd)(dd)(Sxyxzexzxyfzyxf，求)(xf解：由题意，在任意一个由光滑简单封闭曲面围成的区域上，由高斯公式有0ddd)2)()(dd2dd)(dd)(