资阳市2015-2016学年高二下期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 15 页） 2015年四川省资阳市高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1双曲线 =1 的渐近线方程为（ ） A y= x B y= 2x C y= x D y= x 2复数 z=（ 3 2i） i 的共轭复数 等于（ ） A 2 3i B 2+3i C 2 3i D 2+3i 3观察下列式子： 1+3=22， 1+3+5=32， 1+3+5+7=42， 1+3+5+7+9=52， ，据此你可以归纳猜想出的一般结论为（ ） A 1+3+5+（ 2n+1） =n N*） B 1+3+5+（ 2n+1） =（ n+1） 2（ n N*） C 1+3+5+（ 2n 1） =（ n 1） 2（ n N*） D 1+3+5+（ 2n 1） =（ n+1） 2（ n N*） 4定积分 ） A 1+e B e C e 1 D 1 e 5已知 x， y 的取值如表所示，若 y 与 x 线性相关，且线性回归方程为 ，则 的值为（ ） x 1 2 3 y 6 4 5 A B C D 6函数 f（ x） =3x+2 的极大值点是（ ） A x= 1 B x=1 C x=0 D x= 1 7设（ 2x 1） 5=a0+ a1+a2+a3+a4+ ） A 2 B 1 C 0 D 1 8函数 f（ x） = 的导函数 f（ x）为（ ） A f（ x） = B f（ x） = C f（ x） = D f（ x） = 9五人站成一排，其中甲、乙之间有且仅有 1 人，不同排法的总数是（ ） A 48 B 36 C 18 D 12 10已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 P 在椭圆上，若 | ，则 ） 第 2 页（共 15 页） A B C D 11已知 P 是抛物线 x 上一动点，则点 P 到直线 l： 2x y+3=0 和 y 轴的距离之和的最小值是（ ） A B C 2 D 1 12已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（ 2） =0，当 x 0 时， f（ x） + x） 0（其中 f（ x）为 f（ x）的导函数），则 f（ x） 0 的解集为（ ） A（ ， 2） （ 2， +） B（ ， 2） （ 0， 2） C（ 2， 0） （ 2， +）D（ 2， 0） （ 0， 2） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13（ x ） 6 展开式的常数项为 _ 14若曲线 y=kx+点（ 1， k）处的切线平行于 x 轴，则 k=_ 15已知椭圆 + =1（ a b 0）的左焦点 c， 0），右焦点 c， 0），若椭圆上存在一点 P，使 |2c， 0，则该椭圆的离心率 e 为 _ 16若存在正实数 e （ a） 2（其中 e 是自然对数的底数， e=成立，则实数 a 的取值范围是 _ 三、解答题：本大题共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知抛物线 y 的焦点为 F， P 为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点 （ ）当 |2 时，求点 P 的坐标； （ ）求点 P 到直线 y=x 10 的距离的最小值 18学校游园活动有这样 一个游戏： A 箱子里装有 3 个白球， 2 个黑球， B 箱子里装有 2 个白球， 2 个黑球，参加该游戏的同学从两个箱子中各摸出一个球，若颜色相同则获奖，现甲同学参加了一次该游戏 （ ）求甲获奖的概率 P； （ ）记甲摸出的两个球中白球的个数为 ，求 的分布列和数学期望 E（ ） 19已知函数 f（ x） =x+3（ y=k），曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y= x+b（ b R） （ ） 求 a， b 的值； （ ） 求 f（ x）的极值 20某市高二学生进行了体能测试，经分析，他们的体能成绩 X 服从正态分布 N（ ， 2），已知 P（ X 75） =P（ X 95） = ）求 P（ 75 X 95）； （ ）现从该市高二学生中随机抽取 3 位同学，记抽到的 3 位同学中体能测试成绩不超过75 分的人数为 ，求 的分布列和数学期望 21已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率 e= ，点 A（ 1， ）在椭圆 C 上 第 3 页（共 15 页） （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过椭圆 C 的左顶点 B 且互相垂直的两直线 别交椭圆 C 于点 M， N（点 M， ），试问直线 否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由 22已知函数 f（ x） =（ a R） （ ）若 a= 4，求 f（ x）的单调区间； （ ）若 f（ x） 0 在区间 1， +）上恒成立，求 a 的最小值 第 4 页（共 15 页） 2015年四川省资阳市高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1双曲线 =1 的渐近线方程为（ ） A y= x B y= 2x C y= x D y= x 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 运用双曲线 =1 的渐近线方程为 y= x，求得已知双曲线方程的 a， b，即可得到所求渐近线方程 【解答】 解：由双曲线 =1 的渐近线方程为 y= x， 双曲线 =1 的 a=2， b= ， 可得所求渐近线方程为 y= x 故选： A 2复数 z=（ 3 2i） i 的共轭复数 等于（ ） A 2 3i B 2+3i C 2 3i D 2+3i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接由复数代数形式的乘法运算化简 z，则其共轭可求 【解答】 解： z=（ 3 2i） i=2+3i， 故选： C 3观察下列式子： 1+3=22， 1+3+5=32， 1+3+5+7=42， 1+3+5+7+9=52， ，据此你可以归纳猜想出的一般结论为（ ） A 1+3+5+（ 2n+1） =n N*） B 1+3+5+（ 2n+1） =（ n+1） 2（ n N*） C 1+3+5+（ 2n 1） =（ n 1） 2（ n N*） D 1+3+5+（ 2n 1） =（ n+1） 2（ n N*） 【考点】 归纳推理 【分析】 观察不难发现，连续奇数的和等于奇数的个数的平方，然后写出第 n 个等式即可 【解答】 解： 1+3=22， 1+3+5=32， ， 第 5 页（共 15 页） 第 n 个等式为 1+3+5+（ 2n+1） =（ n+1） 2（ n N*）， 故选： B 4定积分 ） A 1+e B e C e 1 D 1 e 【考点】 定积分 【分析】 求出被积函数的原函数，计算即可 【解答】 解：原式 = =e 1； 故选 C 5已知 x， y 的取值如表所示，若 y 与 x 线性相关，且线性回归方程为 ，则 的值为（ ） x 1 2 3 y 6 4 5 A B C D 【考点】 线性回归方程 【分析】 根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到 b 的值 【解答】 解：根据所给的三对数据，得到 =2， =5， 这组数据的样本中心点是（ 2， 5） 线性回归直线的方程一定过样本中心点，线性回归方程为 ， 5=2b+6 b= 故选： D 6函数 f（ x） =3x+2 的极大值点是（ ） A x= 1 B x=1 C x=0 D x= 1 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 先求导函数，确定导数为 0 的点，再确定函数的单调区间，利用左增右减，从而确定函数的极大值点 【解答】 解： f（ x） =3x+2， f（ x） =33， 当 f（ x） =0 时， 33=0， x= 1 令 f（ x） 0，得 x 1 或 x 1； 令 f（ x） 0，得 1 x 1； 函数的单调增区间为（ ， 1），（ 1， +），函数的单调减区间为（ 1， 1） 函数的极大值点是 x= 1 第 6 页（共 15 页） 故选： D 7设（ 2x 1） 5=a0+ a1+a2+a3+a4+ ） A 2 B 1 C 0 D 1 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 利用赋值法将 x=0 代入，可得 将 x=1 代入， 入解得 a1+a2+a3+a4+ 【解答】 解：把 x=0 代入得， 1， 把 x=1 代入得 a0+a1+a2+a3+a4+， 把 1，代入得 a1+a2+a3+a4+（ 1） =2 故选： A 8函数 f（ x） = 的导函数 f（ x）为（ ） A f（ x） = B f（ x） = C f（ x） = D f（ x） = 【考点】 导数的运算 【分析】 根据函数商的导数公式进行求解即可 【解答】 解：函数的导数 f（ x） = = ， 故选： B 9五人站成一排，其中甲、乙之间有且仅有 1 人，不同排法的总数是 （ ） A 48 B 36 C 18 D 12 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 甲、乙两人和中间一人捆绑算一个元素，共三个元素排列，不要忘记甲、乙两人之间的排列 【解答】 解：因为 5 人站成一排， 甲、乙两人之间恰有 1 人的不同站法 =36， 故选： B 10已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 P 在椭圆上，若 | ，则 ） 第 7 页（共 15 页） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 利用椭圆的标准方程及其定义可得： |，再利用余弦定理即可得出 【解答】 解： 椭圆 + =1， a=2 ， b=2=c， | ， |4 ， |=3 ， = 故选： D 11已知 P 是抛物线 x 上一动点，则点 P 到直线 l： 2x y+3=0 和 y 轴的距离之和的最小值是（ ） A B C 2 D 1 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 作图，化点 P 到直线 l： 2x y+3=0 和 y 轴的距离之和为 A 1，从而求最小值 【解答】 解：由题意作图如右图， 点 P 到直线 l： 2x y+3=0 为 点 P 到 y 轴的距离为 1； 而由抛物线的定义知， F； 故点 P 到直线 l： 2x y+3=0 和 y 轴的距离之和为 A 1； 而点 F（ 1， 0）到直线 l： 2x y+3=0 的距离为 = ； 故点 P 到直线 l： 2x y+3=0 和 y 轴的距离之和的最小值为 1； 故选 D 第 8 页（共 15 页） 12已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（ 2） =0，当 x 0 时， f（ x） + x） 0（其中 f（ x）为 f（ x）的导函数），则 f（ x） 0 的解集为（ ） A（ ， 2） （ 2， +） B（ ， 2） （ 0， 2） C（ 2， 0） （ 2， +）D（ 2， 0） （ 0， 2） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 由当 x 0 时， f（ x） + x） 0，可得 g（ x） =x）在（ 0， +）上是增函数，结合函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数， f（ 2） =0，可得关于 x 的不等式 f（ x） 0 的解集 【解答】 解： 函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数， f（ x） = f（ x） 令 g（ x） =x）， g（ x） =g（ x）是定义在 R 上的偶函数， 又 f（ 2） =0， f（ 2） = f（ 2） =0， g（ 2） =g（ 2） =0 又 当 x 0 时， f（ x） + x） 0， 即当 x 0 时， g（ x） 0， 即 g（ x）在（ 0， +）上是增函数，在（ ， 0）是减函数， 当 x 0 时， f（ x） 0，即 g（ x） g（ 2），解得： x 2 当 x 0 时， f（ x） 0，即 g（ x） g（ 2），解得： 2 x 0， 不等式 x） 0 的解集为：（ 2， 0） （ 2， +）， 故（ 2， 0） （ 2， +） 故选： C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13（ x ） 6 展开式的常数项为 20 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求得展开式中的常数项的值 【解答】 解：由于（ x ） 6 展开式的通项公式为 = （ 1） r2r， 令 6 2r=0，求得 r=3，可得（ x ） 6 展开式的常数项为 = 20， 故答案为： 20 14若曲线 y=kx+点（ 1， k）处的切线平行于 x 轴，则 k= 1 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 先求出函数的导数，再由题意知在 1 处的导数值为 0，列出方程求出 k 的值 【解答】 解：由题意得， y=k+ ， 在点（ 1， k）处的切线平行于 x 轴， k+1=0，得 k= 1， 故答案为： 1 第 9 页（共 15 页） 15已知椭圆 + =1（ a b 0）的左焦点 c， 0），右焦点 c， 0），若椭圆上存在一点 P，使 |2c， 0，则该椭圆的离心率 e 为 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由椭圆的定义，可得 |2a 2c，在 ，由余弦定理可得 c= （ a c），再由离心率公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：由椭圆的定义可得， 2a=| 由 |2c，可得 |2a 2c， 在 ，由余弦定理可得， = = ， 化简可得， c= （ a c）， 即有 e= = = 故答案为： 16若存在正实数 e （ a） 2（其中 e 是自然对数的底数， e=成立，则实数 a 的取值范围是（ 2， +） 【考点】 其他不等式的解法 【分析】 由求导公式和法则求出 f（ x），化简后根据导数的符号判断出 f（ x）的单调性，对a 进行分类讨论，根据函数的单调性求出函数的最小值，由条件和存在性问题列出不等式，求出实数 a 的取值范围 【解答】 解：由题意设 f（ x） =x a） 2， 则 f（ x） =x a+1），由 f（ x） =0 得， x=a 1， 当 x （ ， a 1）时， f（ x） 0，则 f（ x）是减函数， 当 x （ a 1， +）时， f（ x） 0，则 f（ x）是增函数， 当 a 1 0 时，则 a 1， f（ x）在（ 0， +）上是增函数， 存在正实数 e （ a） 2 成立， 函数的最小值是 f（ 0） = a 2 0，解得 a 2，即 2 a 1； 当 a 1 0 时，则 a 1， f（ x）在（ 0， a 1）是减函数，在（ a 1， +）上是增函数， 存在正实数 e （ a） 2 成立， 函数的最小值是 f（ a 1） =1（ a 1 a） 2 0， 即 1 2 0 恒成立， 第 10 页（共 15 页） 则 a 1， 综上可得，实数 a 的取值范围是（ 2， +） 三、解答题：本大题共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知抛物线 y 的焦点为 F， P 为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点 （ ）当 |2 时，求点 P 的坐标； （ ）求点 P 到直线 y=x 10 的距离的最小值 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ ）利用抛物线的定义，即可求得点 P 的坐标； （ ）首先求得点 P 到直线 y=x 10 的距离 d 的关于 a 的关系式，由二次函数的性质即可解得最小值 【解答】 解：（ ）由抛物线 y 的焦点为 F， P 为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点， 故设 P（ a， ），（ a 0）， |2，结合抛物线的定义得， +1=2， a=2， 点 P 的坐标为（ 2， 1）； （ ）设点 P 的坐标为 P（ a， ），（ a 0）， 则点 P 到直线 y=x 10 的距离 d 为 = ， a+10= （ a 2） 2+9， 当 a=2 时， a+10 取得最小值 9， 故点 P 到直线 y=x 10 的距离的最小值 = = 18学校游园活动有这样一个游戏： A 箱子里装有 3 个白球， 2 个黑球， B 箱子里装有 2 个白球， 2 个黑球，参加该游戏的同学从两个箱子中各摸出一个球，若颜色相同则获奖，现甲同学参加了一次该游戏 （ ）求甲获奖的概率 P； （ ）记甲摸出的两个球中白球的个数为 ，求 的分布列和数学期望 E（ ） 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ ）利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出甲获奖的概率 （ ）由题意 的可能取值为 0， 1， 2，分别求出相应 的概率，由此能求出 的分布列和 E（ ） 【解答】 解：（ ） A 箱子里装有 3 个白球， 2 个黑球， B 箱子里装有 2 个白球， 2 个黑球， 参加该游戏的同学从两个箱子中各摸出一个球，颜色相同则获奖， 现甲同学参加了一次该游戏 第 11 页（共 15 页） 甲获奖的概率 P= = （ ）由题意 的可能取值为 0， 1， 2， P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， 的分布列为： 0 1 2 P E（ ） = = 19已知函数 f（ x） =x+3（ y=k），曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y= x+b（ b R） （ ） 求 a， b 的值； （ ） 求 f（ x）的极值 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求导数，利用曲 线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y= x+b，可求 a、 b 的值； （ ）确定函数的单调性，即可求 f（ x）的极值 【解答】 解：（ ）由 ，则 ，得 a=2， 所以 ， ， 把切点 代入切线方程有 ，解得 b=1， 综上： a=2， b=1 （ ）由（ ）有 ， 当 0 x 时， f（ x） 0， f（ x）单调递增；当 时， f（ x） 0， f（ x）单调递减 所以 f（ x）在 时取得极大值 ， f（ x）无极小值 20某市高二学生进行了体能测试，经分析，他们的体能成绩 X 服从正态分布 N（ ， 2），已知 P（ X 75） =P（ X 95） = ）求 P（ 75 X 95）； 第 12 页（共 15 页） （ ）现从该市高二学生中随机抽取 3 位同学，记抽到的 3 位同学中体能测试成绩不超过75 分的人数为 ，求 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 （ ）由 P（ 75 X 95） =1 P（ X 75） P（ X 95）， 能求出结果 （ ） 的可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ ） 体能成绩 X 服从正态分布 N（ ， 2）， P（ X 75） =P（ X 95）= P（ 75 X 95） =1 P（ X 75） P（ X 95） =1 （ ） 的可能取值为 0， 1， 2， 3， P（ =0） = = ， P（ =1） = ， P（ =2） = = ， P（ =3） = = ， 的分布列为： 0 1 2 3 P E（ ） = = 21已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率 e= ，点 A（ 1， ）在椭圆 C 上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过椭圆 C 的左顶点 B 且互相垂直的两直线 别交椭圆 C 于点 M， N（点 M， ），试问直线 否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）运用椭圆的离心率公式和将 A 点坐标代入椭圆的标准方程，解方程组得出 a，b，即可得到椭圆方程； （ ）设两条直线方程分别为 y=k， y= （ x+2），分别与椭圆方程联立解出 M， N 坐标，得出直线 斜率和方