福建省宁德市2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 14 页） 2015年福建省宁德市高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1已知直线 x 2y+a=0 y+1=0若 实数 a 的值为（ ） A B C 2 D 0 2在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A =（ 0， 0）， =（ 3， 2） B =（ 1， 2）， =（ 3， 2） C =（ 6， 4）， =（ 3， 2） D =（ 2， 5）， =（ 2， 5） 3半径为 1，弧长为 4 的扇形的面积等于（ ） A 8 B 4 C 2 D 1 4如果 ， 是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ） ） A = B =1 C D | |=| | 5若 | |=1， | |=2， =1，则 和 夹角大小为（ ） A 90 B 60 C 45 D 30 6棱长为 4 的正方体 内切球的表面积为（ ） A 8 B 16 C 24 D 32 7已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的侧面积为（ ） A 4 B 8 C 12 D 16 8已知 直线 x y+ =0 与圆 x2+ 相交于 A， B 两点，则弦 长为（ ） A B C 2 D 4 9设 l， m， n 是三条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列判断正确的是（ ） A若 l m， m n，则 l n B若 ， ，则 C若 ， m ，则 m D若 m ， m ，则 10为了得到函数 y=x ） +1 的图象，只需将函数 y=象上所有的点（ ） A向左平行移动 个单位长度，再向上平行平移 1 个单位长度 第 2 页（共 14 页） B向左平行移动 个单位长度，再向下平行平移 1 个单位长度 C向右平行移动 个单位长度，再向下平行平移 1 个单位长度 D向右平行移动 个单位长度，再向上平行平移 1 个单位长度 11正方体 ， E， F 分别为 中点，则 成的角为（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 12已知 ， 均为锐角，且 ， ） = ，则 ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分 .、共 20 分 . 13直线 x+2y+2=0 在 y 轴上的截距为 14已知向量 =（ 0， 1）， =（ 1， m）， =（ 1， 2），若（ + ） ，则 m= 15圆 x2+4=0 与圆 x2+4x 5=0 的位置关系是 16已知函数 f（ x） =2x+ ），给出下列判断： 函数 f（ x）的最小正周期为 ； 函数 y=f（ x+ ）是偶函数； 函数 f（ x）关于点（ ， 0）（ k Z）成中心对称； 函数 f（ x）在区间 ， 上是单调递减函数 其中正确的判断是 （写出所有正确判断的序号） 三、解答题：本大 题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知直线 l 的倾斜角 =30，且过点 P（ ， 2） （ ）求直线 l 的方程； （ ）若直线 m 过点（ 1， ）且与直线 l 垂直，求直线 m 与两坐标轴围成的三角形面积 18如图，矩形 ， ， ，点 P 为 中点，且 = （ R） （ ）试用 和 表示 ； （ ）若 =4 时，求 的值 19已知锐角 ， 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴非负半轴重合，角 的终边经过点 A（ 2， 1），角 的终 边经过点 B（ 3， 1） 第 3 页（共 14 页） （ ）求 （ ）求 +的大小 20如图，直三棱柱 ， D 是 中点， ， C= （ ）证明： 平面 （ ）求三棱锥 V 的体积 21已知函数 f（ x） =2 （ ）求函数 f（ x）的最大值及其相应的 x 的值； （ ）若函数 f（ x）在区间（ ， m）上单调递减，求实数 m 的取值范围 22已知圆 E 过点 A（ 1， 1）， B（ 1， 1），且圆心 E 在直线 l： x+y 2=0 上，直线 l与直线 l 关于原点对称，过直线 l上点 P 向圆 E 引两条切线 点分别为 M， N （ ）求圆 E 的方程； （ ）求证：直线 过一个定点 第 4 页（共 14 页） 2015年福建省宁德市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试 题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1已知直线 x 2y+a=0 y+1=0若 实数 a 的值为（ ） A B C 2 D 0 【考点】 直线的一般式方程与直线的平行关系 【分析】 利用两条直线相互平行与斜率之间的关系即可得出 【解答】 解：直线 x 2y+a=0，即： y= x+ ， y+1=0，即 y=， 若 a= ， 故选： A 2在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A =（ 0， 0）， =（ 3， 2） B =（ 1， 2）， =（ 3， 2） C =（ 6， 4）， =（ 3， 2） D =（ 2， 5）， =（ 2， 5） 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 由定理知可作为平面内所有向量的一组基底的两个向量必是不共线的，由此关系对四个选项作出判 断，得出正确选项 【解答】 解：对于 A：零向量与任一向量共线，因此 与 共线，不能作为基底； B：由 ， 与 不共线，可以作为基底； C： =2 ，因此 与 共线，不能作为基底； D： = ，因此 与 共线，不能作为基底； 故选： B 3半径为 1，弧 长为 4 的扇形的面积等于（ ） A 8 B 4 C 2 D 1 【考点】 扇形面积公式 【分析】 由扇形面积公式 S= 行计算即可得解 【解答】 解：由题意得： S= 4 1=2 第 5 页（共 14 页） 故选： C 4如果 ， 是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ） ） A = B =1 C D | |=| | 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向 量的定义结合向量数量积公式以及向量模长的定义分别进行判断即可 【解答】 解： A. ， 是两个单位向量，长度相等，但方向不一定相同，则 = 错误， B. ， 向量的夹角不确定，则 =1 不一定成立， C. = ，故 C 错误， D | |=| |=1，故 D 正确 故选： D 5若 | |=1， | |=2， =1，则 和 夹角大小为（ ） A 90 B 60 C 45 D 30 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量夹角公式，结合向量数量积的运算进行求解即可 【解答】 解： | |=1， | |=2， =1， ， = = ， 则 ， =60， 即向量夹角大小为 60， 故选： B 6棱长为 4 的正方体 内切球的表面积为（ ） A 8 B 16 C 24 D 32 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 根据正方体和内切球半径之间的关系 即可求球的表面积 【解答】 解： 棱长为 4 的正方体 内切球的直径等于正方体的棱长， 2r=4，即内切球的半径 r=2， 内切球的表面积为 46 故选： B 第 6 页（共 14 页） 7已知某个几何体 的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的侧面积为（ ） A 4 B 8 C 12 D 16 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图可得该几何体是一个底面半径为 1，高为 2 的圆柱，代入圆柱的侧面积公式，可得答案 【解答】 解：由已知可得该几何体为圆柱，且圆柱的底面直径为 2，高 h=2 即圆柱的底面半径 r=1， 故该几何体的侧面积 S=2 故选： A 8已知直线 x y+ =0 与圆 x2+ 相交于 A， B 两点，则弦 长为（ ） A B C 2 D 4 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 易得圆的圆心和半径，由距离公式可得圆心到直线的距离 d，由勾股定理可得 | 【解答】 解： 圆 x2+ 的圆心为（ 0， 0），半径 r=2， 圆心到直线 x y+ =0 的距离 d= =1， 弦长 |2 =2 故选： C 9设 l， m， n 是三条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列判断正确的是（ ） A若 l m， m n，则 l n B若 ， ，则 C若 ， m ，则 m D若 m ， m ，则 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 利用线面、平面与平面垂直、平行的性质与判定，一一判断，即可得出结论 【解答】 解：对于 A，若 l m， m n，则 l n 或相交或异面，故不正确； 对于 B，若 ， ，则 或相交，故不正确； 对于 C，利用一条直线垂直与两个平行平面中的一个，则也与另一个平行，正确； 对于 D，两个平面相交， m 与交线平行，也满足条件，故不正确 故选： C 10为了得到函数 y=x ） +1 的图象，只需将函数 y=象上所有的点（ ） 第 7 页（共 14 页） A向左平行移动 个单位长度，再向上平行平移 1 个单位长度 B向左平行移动 个单位长度，再向下平行平移 1 个单位长度 C向右平行移动 个单位长度，再向下平行平移 1 个单位长度 D向右平行移动 个单位长度，再向上平行平移 1 个单位长度 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用函数 y=x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】 解：将函数 y=象上所有的点向右平行移动 个单位长度，可得函数 y=x ）的图象； 再把所的图象向上平行平移 1 个单位长度，可得函数 y=x ） +1 的图象， 故选： D 11正方体 ， E， F 分别为 中点，则 成的角为（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 如图所示，连接 用三角形中位线定理可得： 此 F 与 成的角利用 等边三角形即可得出 【解答】 解：如图所示，连接 E， F 分别为 中点， 其补角为异面直线 成的角 等边三角形 ， 0即为异面直线 成的角 故选： C 12已知 ， 均为锐角，且 ， ） = ，则 ） 第 8 页（共 14 页） A B C D 【考点】 两角和与差的余弦函数 【分析】 利用同角三角函数的基本关系求得 ）的值，再利用两角差的正弦公式求得 （ ） 的值 【解答】 解： ， 均为锐角， ， = ， ） = ， ） = = ， 则 （ ） = ） ） = （ ） = ， 故 选： A 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分 .、共 20 分 . 13直线 x+2y+2=0 在 y 轴上的截距为 1 【考点】 直线的一般式方程 【分析】 通过 x=0 求出 y 的值，即可得到结果 【解答】 解：直线 x+2y+2=0，当 x=0 时， y= 1， 直线 x+2y+2=0 在 y 轴上的截距为： 1 故答案为： 1 14已知向量 =（ 0， 1）， =（ 1， m）， =（ 1， 2），若（ + ） ，则 m= 3 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 利用向量的坐标运算性质、向量公式定理即可得出 【解答】 解： + =（ 1， 1+m），（ + ） ， 1+m+2=0， 解得 m= 3 15圆 x2+4=0 与圆 x2+4x 5=0 的位置关系是 相交 【考点】 圆与圆的位置关系及其判定 【分析】 把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离 d，然后求出 |R r|和 R+r 的值，判断 d 与 |R r|及 R+r 的大小关系即可得到两圆的位置关系 【解答】 解：把圆 x2+4=0 与圆 x2+4x 5=0 分别化为标准方程得： x2+，（ x 2） 2+， 故圆心坐标分别为（ 0， 0）和（ 2， 0），半径分别为 R=2 和 r=3， 圆心之间的距离 d=2， R+r=5， |R r|=1， |R r| d R+r， 则两圆的位置关系是相交 故答案为：相交 16已知函数 f（ x） =2x+ ），给出下列判断： 函数 f（ x）的最小正周期为 ； 第 9 页（共 14 页） 函数 y=f（ x+ ）是偶函数； 函数 f（ x）关于点（ ， 0）（ k Z）成中心对称； 函数 f（ x）在区间 ， 上是单调递减函数 其中正确的判断是 （写出所有正确判断的序号） 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 利用正弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论 【 解答】 解：对于函数 f（ x） =2x+ ），由于它的周期为 =，故 正确； 由于函数 y=f（ x+ ） =（ x+ ） =2x+ + ） =偶函数，故 正确； 由于当 x= 时， 2x+ ） =+ ） =0，故函数 f（ x）关于点（ ， 0）（ k Z）成中心对称，故 正确； 在区间 ， 上， 2x+ ， ，故函数 f（ x）在区间 ， 上不是单调函数，故 错误， 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知直线 l 的倾斜角 =30，且过点 P（ ， 2） （ ）求直线 l 的方程； （ ）若直线 m 过点（ 1， ）且与直线 l 垂直，求直线 m 与两坐标轴围成的三角形面积 【考点】 直线的一般式方程；待定系数法求直线方程 【分析】 （ ）代入直线的点斜式方程求出 l 的方 程即可； （ ）求出直线 m 的斜率，求出直线 m 的方程，再求出其和坐标轴的交点，从而求出三角形的面积即可 【解答】 解：（ ） 直线 l 的倾斜角 =30， 直线 l 的斜率设出 ，且过点 P（ ， 2） 直线 l 的方程是 y 2= （ x ）， 即 x y+ =0； （ ） 直线 m 与直线 l 垂直， 直线 m 的斜率是 ，且直线 m 过点（ 1， ） 直线 m 的方程是 y = （ x 1）， 即 y= x+2 ， 直线 m 与 x 轴交点坐标是（ 2， 0），与 y 轴交点坐标是（ 0， 2 ）， 直线 m 与两坐标轴围成的三角形面积是： 2 2=2 第 10 页（共 14 页） 18如图，矩形 ， ， ，点 P 为 中点，且 = （ R） （ ）试用 和 表示 ； （ ）若 =4 时，求 的值 【考点】 平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义 【分析】 （ ）根据平面向量的基本定理即可用 和 表示 ； （ ）若 =4 时，利用向量数量积的公式建立方程关系即可求 的值 【解答】 解：（ ） = + = + = + （ ）在矩形 则 =0， =（ + ） =（ + ） = + 2=16=4， = 19已知锐角 ， 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴非负半轴重合，角 的终边经过点 A（ 2， 1），角 的终边经过点 B（ 3， 1） （ ）求 （ ）求 +的大小 【考点】 两角和与差的余弦函数 ；任意角的三角函数的定义 【分析】 （ ）利用任意角的三角函数的定义，求得 （ ）先求得 +）的值，再根据 + （ 0， ），求得 +的值 【解答】 解：（ ） 锐角 ， 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴非负半轴重合，角 的终边经过点 A（ 2， 1）， x=2， y=1， r=| ， = = ， = = ， = （ ） 角 的终边经过点 B（ 3， 1）， 又 +） = =1， + （ 0， ）， += ， 20如图，直三棱柱 ， D 是 中点， ， C= （ ）证明： 平面 （ ）求三棱锥 V 的体积 第 11 页（共 14 页） 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直 线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）由 平面 出 C 得出 而 平面 （ 2）由勾股定理的逆定理得出 算 S 是 V =V= 【解答】 证明：（ I） 平面 面 C， D 为 中点， 又 面 面 ， 平面 （ ， B=2， D 是 中点， S = =1 又 平面 V =V = = = 21已知函数 f（ x） =2 （ ）求函数 f（ x）的最大值及其相应的 x 的值； （ ）若函数 f（ x）在区间（ ， m）上单调递 减，求实数 m 的取值范围 第 12 页（共 14 页） 【考点】 正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 （ ）由二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式化简解析式，由正弦函数的最大值求出答案； （ ）由正弦函数的减区间求出 f（ x）的