福建省三明市2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年福建省三明市高一（下）期末数学试卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1直线 x+y+3=0 的倾角是（ ） A B C D 2若 a b 0， c R，则下列不等式中正确的是（ ） A B C 圆 x2+ 与圆 x+3） 2+（ y+4） 2=16 的位置关系是（ ） A内切 B相交 C外切 D外离 4已知等差数列 公差是 1，且 等比数列，则 ） A 4 B 5 C 6 D 8 5已知直线 l 平面 ， P ，那么过点 P 且平 行于 l 的直线（ ） A只有一条，不在平面 内 B只有一条，在平面 内 C有两条，不一定都在平面 内 D有无数条，不一定都在平面 内 6若变量 x， y 满足不等式组 ，则目标函数 z=2x+y 的最大值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 7在空间直角坐标系中，已知三点 A（ 1， 0， 0）， B（ 1， 1， 1）， C（ 0， 1， 1），则三角形（ ） A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 8已知直线 x+y=1 与圆 （ x a） 2+（ y b） 2=2（ a 0， b 0）相切，则 取值范围是（ ） A（ 0， B（ 0， C（ 0， 3 D（ 0， 9 9已知正方体 棱长为 2，则点 D 到平面 距离为（ ） A B C D 10已知数列 项公式 ） n 1（ n 8）（ n N+），则数列 最大项为（ ） A 1在三棱锥 S ，已知 C=2， C= ， B= ，则此三棱锥的外接球的 表面积为（ ） A 2 B 2 C 6 D 12 12已知数列 前 n 项和为 ， = （ n N+）则 ） A 4（ 4 ） B 4（ 4 ） C 4（ 4 ） D 4（ ） 第 2 页（共 16 页） 二、填空题（共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分） 13已知直线 x ay+a=0 与直线 3x+y+2=0 垂直，则实数 a 的值为 14在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c，若 a=3， b=4， ，则角 15已知关于 x 的不等式 3x+2 0 的解集为 x|x 1，或 x b，则实数 b 的值为 16如图，在矩形 ， ， ，动点 P， Q， R 分别在边 ，且满足 R=线段 最小值是 三、解答题（共 6 小题，满分 52 分） 17已知直线 l 过点（ 3， 1）且与 直线 x+y 1=0 平行 （ 1）求直线 l 的方程； （ 2）若将直线 l 与 x 轴、 y 轴所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周得到一个几何体，求这个几何体的体积 18已知数列 等差数列，且 ， 1，数列 公比大于 1 的等比数列，且 ， （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 cn=数列 前 n 项和 19在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 A=45， a=6 （ 1）若 C=105，求 b； （ 2）求 积的最大值 20已知圆 C 经过三点 O（ 0， 0）， 1， 1）， 4， 2） （ 1）求圆 C 的方程； （ 2）设直线 x y+m=0 与圆 C 交于不同的两点 A， B，且线段 中点在圆 x2+ 上，求实数 m 的值 21已知函数 f（ x） = a+1） x+2（ a R） （ I）当 a=2 时，解不等式 f（ x） 1； （ ）若对任意 x 1， 3，都有 f（ x） 0 成立，求实数 a 的取值范围 22如图，在四棱锥 P ，底面 正方形， D=2， ， 20 （ 1）如图 2，设点 E 为 中点，点 F 在 中点，求证： 平面 第 3 页（共 16 页） （ 2）已知网络纸上小正方形的边长为 你在网格纸用粗线画图 1 中四棱锥 P 需要标字母），并说明理由 第 4 页（共 16 页） 2015年福建省三明市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1直线 x+y+3=0 的倾角是（ ） A B C D 【考点】 直线的倾斜角 【分析】 把直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率公式求出直线的倾斜角 【解答】 解：由 x+y+3=0 得， y= x 3， 斜率 k= 1，则 1， 直线 x+y+3=0 的倾斜角为 ， 故选： D 2若 a b 0， c R，则下列不等式中正确的是（ ） A B C 考点】 不等式的基本性质 【分析】 根据不等式的基本性质，分别判断四个答案中的不等式是否恒成立，可得结论 【解答】 解： a b 0， 0， ，即 ，故 A 正确； a a b 0， ，故 B 错误， 当 c 0 时， C 错误， D 错误， 故选： A 3圆 x2+ 与圆 x+3） 2+（ y+4） 2=16 的位置关系是（ ） A内切 B相交 C外切 D外离 【考点 】 圆与圆的位置关系及其判定 【分析】 根据两圆圆心之间的距离和半径之间的关系进行判断 【解答】 解：圆 x2+ 的圆心 0， 0），半径 r=3， 圆 x+3） 2+（ y+4） 2=16，圆心 3， 4），半径 R=4， 两圆心之间的距离 =5 满足 4 3 5 4+3， 两圆相交 故选： B 4已知等差数列 公差是 1，且 等比数列，则 ） 第 5 页（共 16 页） A 4 B 5 C 6 D 8 【考点】 等差数列的通项公 式 【分析】 根据等差数列的通项公式、等比中项的性质列出方程，化简后求出 等差数列的通项公式求出 【解答】 解： 差数列 公差是 1，且 等比数列， ，则 ， 化简得， ， a5=6， 故选： C 5已知直线 l 平面 ， P ，那么过点 P 且平行于 l 的直线（ ） A只有一条，不在平面 内 B只有一条，在平面 内 C有两条，不一定都在平面 内 D有无数条，不一定都在平面 内 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 通过假设过点 P 且平行于 l 的直线有两条 m 与 n 的出矛盾，由题意得 m l 且 n l，这与两条直线 m 与 n 相交与点 P 相矛盾，又因为点 P 在平面内所以点 P 且平行于 l 的直线有一条且在平面内 【解答】 解：假设过点 P 且平行于 l 的直线有两条 m 与 n m l 且 n l 由平行公理 4 得 m n 这与两条直线 m 与 n 相交与点 P 相矛盾 又因为点 P 在平面内 所以点 P 且平行于 l 的直线有一条且在平面内 所以假设错误 故选 B 6若变量 x， y 满足不等式组 ，则目标函数 z=2x+y 的最大值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 简单线性规划 【分析】 确定不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得最大值 【解答】 解：已知不等式组表示的区域如图，由目标函数的几何意义得到，当直线 z=2x+ 时，在 y 轴的截距最大，即 z 最大，又 B（ 2， 1）， 所以 z 是最大值为 2 2+1=5； 故选： C 第 6 页（共 16 页） 7在空间直角坐标系中，已知 三点 A（ 1， 0， 0）， B（ 1， 1， 1）， C（ 0， 1， 1），则三角形（ ） A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 【考点】 空间两点间的距离公式 【分析】 由空间两点间距离公式分别求出三边长，再由勾股定理能判断三角形的形状 【解答】 解： 三点 A（ 1， 0， 0）， B（ 1， 1， 1）， C（ 0， 1， 1）， | = ， | = ， | =1， 三角形 直角三角形 故选： A 8已知直线 x+y=1 与圆（ x a） 2+（ y b） 2=2（ a 0， b 0）相切，则 取值范围是（ ） A（ 0， B（ 0， C（ 0， 3 D（ 0， 9 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 直线与圆相切，圆心到直线的距离 d=r，求出 a+b 的值，再利用基本不等式求出 第 7 页（共 16 页） 【解答】 解：直线 x+y=1 与圆（ x a） 2+（ y b） 2=2（ a 0， b 0）相切， 则圆心 C（ a， b）到直线的距离为 d=r， 即 = ， |a+b 1|=2， a+b 1=2 或 a+b 1= 2， 即 a+b=3 或 a+b= 1（不合题意，舍去）； 当 a+b=3 时， = ，当且仅当 a=b= 时取 “=”； 又 0， 取值范围是（ 0， 故选： B 9已知正方体 棱长为 2，则点 D 到平面 距离为（ ） A B C D 【考点】 点、线、面间的距离计算 【分析】 先求得 而求得 而求得 面积，最后利用等体积法求得答案 【解答】 解：依题意知 平面 则 = ， C= S =2 ， 设 D 到平面 距离为 d， 则 dS d2 =， d= 故选： B 10已知数列 项公式 ） n 1（ n 8）（ n N+），则数列 最大项为（ ） A 考点】 数列的函数特性 【分析】 作差分类讨论，利用数列的单调性即可得出 第 8 页（共 16 页） 【解答】 解： （ ） n 1（ n 8） = n 10 时， 0，即 n=10 时取等号），数列 调递减； n 9 时， 0，即 列 调递增 又 n 8 时， 0； n 9 时， 0 n=10 或 11 时，数列 得最大值，其最大项为 故选： C 11在三棱锥 S ，已知 C=2， C= ， B= ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A 2 B 2 C 6 D 12 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 构造长方体，使得面上的对角线长分别为 2， ， ，则长方体的对角 线长等于三棱锥 S 接球的直径，即可求出三棱锥 S 接球的表面积 【解答】 解： 三棱锥 S ， C=2， C= ， B= ， 构造长方体，使得面上的对角线长分别为 2， ， ， 则长方体的对角线长等于三棱锥 S 接球的直径 设长方体的棱长分别为 x， y， z，则 x2+， y2+， x2+， x2+y2+ 三棱锥 S 接球的直径为 ， 三棱锥 S 接球的表面积为 =6 故选： C 12已知数列 前 n 项和为 ， = （ n N+）则 ） A 4（ 4 ） B 4（ 4 ） C 4（ 4 ） D 4（ ） 【考点】 数列递推式 【分析】 = （ n N+），可得 =n，利用 “累加求和 ”方法、等差数列的求和公式及其递推关系即可得出 【解答】 解： = （ n N+）， = =n， = + + + =（ n 1） +（ n 2）+1+0= ， 33 =4 ， 故选： D 二、填空题（共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分） 第 9 页（共 16 页） 13已知直线 x ay+a=0 与直线 3x+y+2=0 垂直，则实数 a 的值为 3 【考点】 直线的一般式方程与直线的垂直关系 【分析】 利用相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出 【解答】 解： 直线 x ay+a=0 与直线 3x+y+2=0 垂直， 3 a=0， 解得 a=3 故答案 为： 3 14在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c，若 a=3， b=4， ，则角 【考点】 正弦定理 【分析】 由已知利用正弦定理可求 用大边对大角可得 A 为锐角，从而可求 A 的值 【解答】 解： a=3， b=4， ， 由正弦定理可得： = = ， a b， A 为锐角，可得 A= 故答案为： 15已知关于 x 的不等式 3x+2 0 的解集为 x|x 1，或 x b，则实数 b 的值为 2 【考点】 一元二次不等式的解法 【分析】 利用一元二次不等式的解集与对应的一元二次方程实数根之间的关系，即可求出答案 【解答】 解：关于 x 的不等式 3x+2 0 的解集为 x|x 1，或 x b， 1， b 是一元二次方程 3x+2=0 的两个实数根，且 a 0； a 3+2=0， 解得 a=1； 由方程 3x+2=0，解得 b=2 故答案为： 2 16如图，在矩形 ， ， ，动点 P， Q， R 分别在边 ，且满足 R=线段 最小值是 第 10 页（共 16 页） 【考点】 不等式的实际应用 【分析】 设 ， PQ=x，用 x， 表示出 ，使用正弦定理得出 x 关于 的函数，利用三角函数的性质得出 x 的最小值 【解答】 解： R= 等边三角形， 0， 矩形 ， ， ， 0， 0， 设 （ 0 90）， PQ=x，则 PR=x， PB= 20 ， 0+， 在 ，由正弦定理得 ，即 ， 解得 x= = 当 +） =1 时， x 取得最小值 = 故答案为： 三、解答题（共 6 小题，满分 52 分） 17已知直线 l 过点（ 3， 1）且与直线 x+y 1=0 平行 （ 1）求直线 l 的方程； （ 2）若将直线 l 与 x 轴、 y 轴所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周得到一个几何体，求这个几何体的体积 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；直线的一般式方程与直线的平行关系 【分析】 （ 1）设直线方程为 x+y+c=0，代入（ 3， 1），求出 c，即可求直线 l 的 方程； （ 2）将直线 l 与 x 轴、 y 轴所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周得到一个几何体为圆锥，底面半径为 4，高为 4，利用圆锥的体积公式，即可得出结论 【解答】 解：（ 1）设直线方程为 x+y+c=0， 代入（ 3， 1），可得 3+1+c=0， 所以 c= 4， 第 11 页（共 16 页） 所以直线 l 的方程为 x+y 4=0； （ 2）将直线 l 与 x 轴、 y 轴所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周得到一个几何体为圆锥，底面半径为 4，高为 4， 所以体积为 = 18已知数列 等差数列，且 ， 1，数列 公比大于 1 的等比数列，且 ， （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 cn=数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ ）利用等差数列的通项公式由已知条件求出首项和公比，由此能求出等差数列通项公式；由数列 以 为首项，公比为 3 的等比数列，能求出 通项公式 （ ）由 2n 1） 3n，利用分组求和法能求出数列 前 n 项和 【解答】 解：（ ）设等差数列 公差为 d， ， 1， 得， 解得 ， d=2， +（ n 1） 2=2n 1， ， 即 ， q 1， q=3， 即数列 以 为首项，公比为 3 的等比数列， （ ） cn= 2n 1） 3n， +3+5+7+（ 2n 1） （ 3+32+33+3n） = =（ 3n 1） 19在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 A=45， a=6 （ 1）若 C=105，求 b； （ 2）求 积的最大值 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）利用和差公式与正弦定理即可得出 （ 2）由余弦定理 a2=b2+2用 基本不等式的性质可得： 36 22，进而得出 第 12 页（共 16 页） 【解答】 解：（ 1） 30+45） = + = 由正弦定理可得： = ， c= = （ 2） a2=b2+2 36 22，解得 18（ 2+ ）当且仅当 b=c=3 时取等号 S =9（ 1+ ） 积的最大值是 9（ 1+ ） 20已知圆 C 经过三点 O（ 0， 0）， 1， 1）， 4， 2） （ 1）求圆 C 的方程； （ 2）设直线 x y+m=0 与圆 C 交于不同的两点 A， B，且线段 中点在圆 x2+ 上，求实数 m 的值 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 （ 1）设出圆的一般方 程，利用待定系数法列出方程组，即可求出圆的方程； （ 2）设出点 A、 B 以及 中点 M 的坐标，由方程组 和中点坐标公式求出点 M 的坐标，代入圆的方程 x2+ 中，即可求出 m 的值 【解答】 解：（ 1）设过点 O、 的方程为 x2+x+=0， 则 ， 解得 D= 8， E=6， F=0； 所求圆的方程为 x2+8x+6y=0， 化为标准方程是：（ x 4） 2+（ y+3） 2=25； （ 2） 设点 A（ B（ 中点 M（ 由方程组 ，消去 y 得 2（ m 1） x+m=0， 所以 = ， y0=x0+m= ， 因为点 M 在圆上，所以 + =5， 所以 + =5， 解得 m= 3 21已知函数 f（ x） = a+1） x+2（ a R） 第 13 页（共 16 页） （ I）当 a=2 时，解不等式 f（ x） 1； （ ）若对任意 x 1， 3，都有 f（ x） 0 成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 一元二次不等式的解法；二次函数的性质 【分析】 （ ） a=2 时，函数 f（ x） =23x+2，求不等式 f（ x） 1 的解集即可； （ ）讨论 a=0 与 a 0、 a 0 时，函数 f（ x）在区间 1， 3上的最小值是什么， 由此建立不等式求出 a 的集合即可 【解答】 解：（ ） a=2 时，函数 f（ x） =23x+2， 不等式 f（ x） 1 化为 23x+1 0， 解得 x 或 x 1； 所以该不等式的解集为 x