成都市新都区2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年四川省成都市新都区高一（下）期末数学试卷 一、选择题（每题 5 分） 1 值为（ ） A B C D 2设 x、 y R+，且 x y， a= ， b= ， c= ，则 a， b， c 的大小关系为（ ） A a b c B a b c C b a c D b c a 3如图为某四面体的三视图（都是直角三角形），则此四面体的表面三角形为直角三角形的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 4空间三条不同直线 l， m， n 和三个不同平面 ， ， ，给出下列命题： 若 m l 且 n l，则 m n； 若 m l 且 n l，则 m n； 若 m 且 n ，则 m n； 若 m ， n ，则 m n； 若 ， ，则 ； 若 ， ，则 ； 若 l， l，则 其中正确的个数为（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 5在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，下列关系式正确的是（ ） A a= a= a= a=函数 f（ x） =于直线 x= 对称，则 a 的取值集合为（ ） A 1 B 1， 1 C 1 D 0 7等差数列 等比数列 ，给出下列各式： a7=a3+a2+a6+a9=a3+a4+中一定正确的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 8数列 前 n 项和 足 Sn= ，则（ ） 第 2 页（共 17 页） A B C D 9给出下列命题： 若 |a| b； 若 |a| b，则 若 a |b|，则 若 a |b| 其中一定正确的命题为（ ） A B C D 10对任意非零向量： ， ， 则（ ） A（ ） = （ ） B = ，则 = C | |=| | | D若 | + |=| |，则 =0 11若 ） A 1 B 0 C D 或 1 12点 O、 I、 H、 G 分别为 直角三角形）的外心、内心、垂心和重心，给出下列关系式 = ； += ； a +b +c = ； += 其中一定正确的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题（每题 5 分） 13等差数列 前 n 项和为 1， 4=191， 0000，则 k 的值为 _ 14三棱锥 P ， 0， ， ， ，点 D、 E 分别在棱 运动，则 长的最小值为 _ 15若平面向量 满足 |2 | 3，则 的最小值是 _ 16已知函数 f（ x） =出下列 4 个结论： f（ x）的值域为 0， 2； f（ x）的最小正周期为 ； f（ x）的图象对称轴方程为 x= （ k Z）； f（ x）的图象对称中心为（ ， ）（ k Z） 其中正确结论的序号是 _（写出全部正确结论的序号） 三、解答题 17若对任意实数 x，不等式 m 1） 0 恒成立 （ 1）求实数 m 的取值集合； （ 2）设 a， b 是正实数，且 n=（ a+ ）（ ），求 n 的最小值 18如图，四边形 ，若 0， 0， 20， ， 第 3 页（共 17 页） （ 1）求 长； （ 2）求 外接圆半径 R； （ 3）求 长 19 ， a=4， b=5， C= ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，点 D 在边 = （ 1）用 和 表示 ； （ 2）求 | 20四面体 ，已知 面 ， ， ， （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求此四面体 体积和表面积； （ 3）求此四面体 外接球半径和内切球半径 21 （非直角三角形），角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c （ 1）求证： （ 2）若 ：（ 2）：（ 3），求 a： b： c 22在等比数列 前 n 项和为 n+r（ r 为常数），记 + （ 1）求 r 的值； （ 2）求数列 前 n 项和 （ 3）记数列 的前 n 项和为 对任意正整数 n，都有 + k+实数 k 的最小值 第 4 页（共 17 页） 2015年四川省成都市新都区高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每题 5 分） 1 值为（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的正弦函数 【分析】 利用两角差的正弦公式，求得要求 式子的值 【解答】 解： 45 30） = = ， 故选： C 2设 x、 y R+，且 x y， a= ， b= ， c= ，则 a， b， c 的大小关系为（ ） A a b c B a b c C b a c D b c a 【考点】 不等式的基本性质 【分析】 直接根据基本不等式即可判断 【解答】 解： x、 y R+，且 x y， ， = ， a b c， 故选： B 3如图为某四面体的三视图（都是直角三角形），则此四面体的表面三角形为直角三角形的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 第 5 页（共 17 页） 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据三视图的几何体的结构特征，利用直线平面的垂直判断即可 【解答】 解：根据三视图得出几何体为三棱锥， 面 面 有 4 个， 故选： D 4空间三条不同直线 l， m， n 和三个不同平面 ， ， ，给出下列命题： 若 m l 且 n l，则 m n； 若 m l 且 n l，则 m n； 若 m 且 n ，则 m n； 若 m ， n ，则 m n； 若 ， ，则 ； 若 ， ，则 ； 若 l， l，则 其中正确的个数为（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 利用空间直线与直线，线面平行和面面 平行的判定定理和性质定理分别分析解答 【解答】 解： 若 m l 且 n l，则 m 与 n 可能平行、相交或者异面；故 错误； 若 m l 且 n l，根据平行公理得到 m n； 正确； 若 m 且 n ，则 m n 或者相交或者异面；故 错误； 若 m ， n ，根据线面垂直的性质定理得到 m n；故 正确； 若 ， ，则 或者相交；故 错误； 若 ， ，则 ；正确 若 l， l，根据线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得到 故 正确； 所以正确的有四个； 故选 C 5在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，下列关系式正确的是（ ） A a= a= a= a= 6 页（共 17 页） 【考点】 正弦定理 【分析】 利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得 用正弦定理即可得解 B 正确 【解答】 解： A+B+C=， B+C） = 由正弦定理可得： a= 故选： B 6函数 f（ x） =于直线 x= 对称，则 a 的取值集合为（ ） A 1 B 1， 1 C 1 D 0 【考点】 正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 由题意 f（ x） = x+），其中 ，再根据 f（ x）的图象关于直线 x=对称， 求得 a 的值 【解答】 解：由题意， f（ x） =x+），其中 ， 其图象关于直线 x= 对称， + =， k z， =， k z， =1， a=1， 故选： A 7等差数列 等比数列 ，给出下列各式： a7=a3+a2+a6+a9=a3+a4+中一定正确的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 设等差数列 公差是 d，等比数列 公比是 q，根据等差数列的通项公式判断 ，根据等比数列的通项公式判断 【解答】 解 ：设等差数列 公差是 d，等比数列 公比是 q， 、因为 a7=d， 4=2d，所以只有当 a1=d 时 a3+立， 不正确； 、因为 a2+a6+4d， a3+a4+4d，所以 a2+a6+a9=a3+a4+正确； 、因为 = ， ， 所以当 b1=q 时 立， 不正确； 、因为 ， ，所以当 =1 时 不正确， 所以一定正确的个数是 1， 第 7 页（共 17 页） 故选 A 8数列 前 n 项和 足 Sn= ，则（ ） A B C D 【考点】 数列递推式 【分析】 由题意和当 n 2 时 n 1 化简已知的等式，得到数列的递推公式，利用累积法求出 【解答】 解：由题意得， Sn= 当 n 2 时， n 1=（ n 1） 21， 化简得， ， 则 ， ， ， ， 以上 n 1 个式子相乘得， = ， 又 ，则 ， 故选： A 9给出下列命题： 若 |a| b； 若 |a| b，则 若 a |b|，则 若 a |b| 其中一定正确的命题为（ ） A B C D 【考点】 不等式的基本性质 【分析】 利用不等式的性质可得 正确， 举反例可以判断 错误 【解答】 解：对于 a|2 |b|2|a| |b|，故正确， 对于 若 a=1， b= 2，虽然满足若 |a| b，但 成立，故不正确， 对于 a |b|b|2，则 正确， 对于 ，若 a= 2， b=1，虽然满足 是 a |b|不成立，故不正确， 故其中一定正 确的命题为 ， 故选： B 10对任意非零向量： ， ， 则（ ） A（ ） = （ ） B = ，则 = C | |=| | | D若 | + |=| |，则 =0 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量数量积的公式分别进行判断即可 【解答】 解： A（ ） =| | |， 与 共线， 第 8 页（共 17 页） （ ） = | | | 与 共线， 则（ ） = （ ）不一定成立，故 A 错误， B由 = ，得 （ ） =0，则 （ ），无法得到 = ，故 B 错误， C. =| | |， =| | |不一定成立，故 C 错误， D若 | + |=| |，则平方得 | |2+| |2+2 =| |2+| |2 2 ，即 4 =0，即 =0 成立，故 D 正确 故选： D 11若 ） A 1 B 0 C D 或 1 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；等比数列的通项公式 【分析】 由等比中项的性质列出方程，由二倍角的正弦公式、 0、 0 化简，由二倍角的余弦公式变形列出方程求解，结合条件求出 【解答】 解： （ 2=（ 2= 又 0， 2 又 0， 即 21=0，解得 或 1， 当 时， ，舍去， 故选 C 12点 O、 I、 H、 G 分别为 直角三角形）的外心、内心、垂心和重心，给出下列关系式 = ； += ； a +b +c = ； += 其中一定正确的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 三角形五心 【分析】 根据三角形（非直角三角形）的外心、内心、垂心和重心的向量表示与运算性质，对选项中的命题逐一进行分析、判断正误即可 【解答】 解：对于 ，点 G 是 重心，如图 所示， 第 9 页（共 17 页） 所以 = = （ + ） = （ + ）， 同理 = （ + ）， = （ + ）， + + = （ + + + + + ） = ， 所以 = ，命题正确； 对于 ，点 O 是 外心，如图 所示， B= 所以 S S S 所以 += ，命题正确； 对于 ，点 I 是 内心，如图所示， 所以 S S S a： b： c，所以 a +b +c = ，命题正确； 对于 ，点 H 是 直角三角形）的垂心，如图所示， 第 10 页（共 17 页） 所以 S S S 所以 += ，命题正确 综上，以上正确的命题有 4 个 故选： D 二、填空题（每题 5 分） 13等差数列 前 n 项和为 1， 4=191， 0000，则 k 的值为 100 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 由 =81，求出 ，再求出 a1+ak=a5+4=9+191=200，由此利用 0000，能求出 k 【解答】 解： 等差数列 前 n 项和为 1， 4=191， 0000， =81， 解得 ， a1+ak=a5+4=9+191=200， =100k=10000， 解得 k=100 故答案为： 100 14三棱锥 P ， 0， ， ， ，点 D、 E 分别在棱 运动，则 长的最小值为 5 【考点】 棱锥的结构特征 【分析】 把已知三棱锥沿棱 三棱锥侧面剪开并展开，可得展开图如图，再由余弦定理求得答案 【解答】 解：如图， 沿棱 三棱锥侧面剪开并展开，可得展开图如图， 此时 |=5，且角 120， 长的最小值为 |= 故答案为： 15若平面向量 满足 |2 | 3，则 的最小值是 【考点】 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的运算 第 11 页（共 17 页） 【分析】 由平面向量 满足 |2 | 3，知 ，故 =4| | | 4 ，由此能求出 的最小值 【解答】 解： 平面向量 满足 |2 | 3， ， =4| | | 4 ， ， ， 故 的最小值是 故答案为： 16已知函数 f（ x） =出下列 4 个结论： f（ x）的值域为 0， 2； f（ x）的最小正周期为 ； f（ x）的图象对称轴方程为 x= （ k Z）； f（ x）的图象对称中心为（ ， ）（ k Z） 其中正确结论的序号是 （写出全部正确结论的序号） 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 利用公式 a3+ a+b）（ ab+简 y=由二倍角公式化 简解析式， 根据余弦函数的值域判断 ；由三角函数的周期公式判断 ；由余弦函数的对称轴方程和整体思想，求出 f（ x）的对称轴判断 ；由余弦函数的对称中心和整体思想，求出 f（ x）的对称对称中心判断 【解答】 解： y= =1（ 2 31 + 、因为 1 1，所以 f（ x）的值域为 ， 1， 不正确； 、由 T= = 得， f（ x）的最小正周期为 ， 正确； 、由 4x=k Z）得， f（ x）图象的对称轴方程是 ， 正确； 第 12 页（共 17 页） 、由 得， ， 则 f（ x）的图象对称中心为（ ， ）（ k Z）， 正确， 综上可得，正确的命题是 ， 故答案为： 三、解答题 17若对任意实数 x，不等式 m 1） 0 恒成立 （ 1）求实数 m 的取值集合； （ 2）设 a， b 是正实数，且 n=（ a+ ）（ ），求 n 的最小值 【考点】 二次函数的性质；基本不等式 【分析】 （ 1）根据二次函数的性质求出 m 的值即可； （ 2）根据基本不等式的性质求出 n 的最小值即可 【解答】 解：（ 1） m 1） 0 在 R 恒成立， =4（ m 1） 0，解得： m=2， 故 m 2； （ 2） m=2， a， b 是正实数， n=（ a+ ）（ ） =（ a+ ）（ 2b+ ） =2+ 2 + = ， 故 n 的最小值是 18如图，四边形 ，若 0， 0， 20， ， （ 1）求 长； （ 2）求 外接圆半径 R； （ 3）求 长 【考点】 解三角形 【分析】 由题意可得，四边形 圆内接四边形 第 13 页（共 17 页） （ 1）直接运用余弦定理求得 长； （ 2）由正弦定理求得 外接圆半径 R； （ 3）在 ，由正弦定理得 长 【解答 】 解：如图， 由 0， 20，可知四边形 圆内接四边形， （ 1）在 ，由 0， ， ，利用余弦定理得： 2D ； （ 2）由正弦定理得： ，则 外接圆半径 R= ； （ 3）在 ，由正弦定理得： ， 19 ， a=4， b=5， C= ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，点 D 在边 = （ 1）用 和 表示 ； （ 2）求 | 【考点】 平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义 【分析】 （ 1）根据向量基本定理即可用 和 表示 ； （ 2）根据向量数量积与向量长度之间的关系转化为向量数量 积进行计算即可求 | 【解答】 解：（ 1） = ， = ， 即 = ， 则 = + = + = + （ ） = + （ 2） a=4， b=5， C= ， =| | |4 = 10 第 14 页（共 17 页） = + 2=（ + ） 2= 2+2 + 2= 25+2 （ 10）+ 16= ， 则 | = 20四面体 ，已知 面 ， ， ， （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求此四面体 体积和表面积； （ 3）求此四面体 外接球半径和内切球半径 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积 【分析】 （ 1）证明 平面 可证明：平面 平面 （ 2）利用体积、面积公式求出此四面体 体积和表面积； （ 3）此四面体 外接球的球心是 中点，即可求此四面体 外接球半径利用等体积求出内切球半径 【解答】 （ 1）证明： 面 ， C=B， 平面 面 平面 平面 （ 2）解：此四面体 体积 V= =10 第 15 页（共 17 页） 表面积 S= = ； （ 3）解：此四面体 外接球的球心是 中点，半径为 = 设内切球半径为 r，则 （ ） r=10， r= 21 （非直角三角形），角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c （ 1）求证： （ 2）若 ：（ 2）：（ 3），求 a： b： c 【考点】 三角函数的化简求 值；正弦定理 【分析】 （ 1）利用三角形的内角和定理以及由题意可得各个正切有意义，由两角和的正切公式变形可得 A+B）（ 1 整体代入式子坐标由诱导公式化简可得； （ 2）结合（ 1）的结论设比例系数为 k，求出 k，得到 用三角函数的基本公式求出 合正弦定理求 a： b： c 【解答】 （ 1）证明： 是直角三角形， A、 B、 C 均不为直角， 且 A+B+C=，任意两角和不为 ， 由两角和的正切公式可得 A+B） = ， A+B）（ 1 = C）（ 1 = 1 1 + （ 2）由 ：（ 2）：（ 3）， 设 k， 2k， 3k， 代入（ 1） 得到 k=36