高中数学论文浅谈分类讨论思想.

浅谈分类讨论思想及其应用【摘 要】：分类讨论思想方法是研究与解决数学问题的重要思想之一,在中学数学应用中十分广泛,本文从分类讨论的原则、分类讨论的步骤及应用环境出发,辅以一定例题,着重分析讨论了分类讨论思想在中学数学中应用的一般原则、方法、技巧及应用环境.【关键词】：分类讨论 分类讨论思想 分类讨论原则 分类讨论步骤一、 分类讨论思想的概念由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进行研究的思想；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称之为分类讨论思想,其实质是一种逻辑划分的思想.从思维策略上看,它是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.通过正确的分类可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答,做到正确的分类,必须遵循一定的原则,以保证分类科学、统一,不重复、不遗漏,并力求最简.二、 分类讨论的原则从某种意义上讲,分类讨论是不得已而为之的事情,通过协调、缓和“矛盾”,达到运用知识合理解决问题的思想方法.那如何进行分类讨论呢？分类讨论必须要遵循一定的原则,才能使分类科学、严谨,从而正确、合理地解题,分类讨论原则有同一性原则、互斥性原则、层次性原则.1.同一性原则同一性原则简言之即“不遗漏”,可以通过集合的思想来解释,如果把研究对象看作全集 I, 是 I 的子集,并以此分类,且niA1A1A 2A n=I,则称这种分类（A 1,A2An）符合同一性原则.比如,我们若把实数 R 分成正实数 R+与负实数 R ,那这种分类不符合同一性原则 ,因为 R= R+R 0,则这种分类方法遗漏了零.在下面的例子中来讨论同一性原则的应用：例 1：已知直线 l: ，求它的斜率及斜率的取值范围、01sin4yx倾斜角的取值范围.分析：直线 l 的方程中 y 的系数是 ，而 的值域是 ，sisin1,值可取零 ，但 =0 时斜率不存在，故视 为研究对象 I sinsin， ， ， A1, A2 都是 I 的子集，且1,0A1,0,2A1A 2=I,满足同一性原则 ,作如下分类讨论：(1) 当 =0,即 =k（k Z）,直线 l 的斜率不存在,倾斜角 =sin2(2) 当 0,即 k（k Z）,直线 l 的斜率 k= , 并且由 i sin4-1 0,0 1,得出1 , 1, sinsinsin1i1k 的取值范围为,4,直线倾斜角 取值范围为 4arctgrt例 2：已知集合 A= x x2ax+4=0,x R, a R ,B= x x3 5x2+2x+8=0,b R ,若 A ,求 a 的取值范围.分析：由于 x x35x 2+2x+8=0, b R = x (x+1)(x2)( x4)=0 = 1,2,4 ,且 A ,则集合 A 可能是空集、单元素集合和两个元素集合,而集合 A 的元素是一个一元二次方程的解集 ,即一元二次方程可能是无解、两个相等的解或两个不相等的实根,因此要分三类讨论,求出a 的取值范围,此题研究对象是一元二次方程 x2ax+4=0 的根的判别式,分成大于零,小于零和等于零这三种情况,这种分类符合同一性原则,没有遗漏任一情况.(1) 当=a 2160,即4a4 时,因为 A= ,满足 A ,所以 a4,(2) 当=0,即 a=4 时,由 A 得 a=4(3) 当0,即 a 4 或 a4 时,A B综上可得,当 a 时,A2.互斥性原则由同一性原则可以看出,在分类讨论时,同一性仅仅考虑了“不遗漏”,但是对于全集 I 来说,A 1,A2An 在满足 A1A 2A n=I 的前提下,并不能保证 AiA j= （i,j n,i j）,即在分类讨论中不能避免重复讨论,使讨论复杂,互斥性原则则解决了这一问题,即对于研究对象 I, Ai(i=1n)是 I 子集,且作为分类的标准,若 AiA j= （i,j n, i j）,则称这种分类符合互斥性原则 ,互斥性原则的重要性在下面例子中可以很明显地显露出来.例 3：某车间有 10 名工人,其中 4 人仅会车工,3 人仅会钳工,另外三人车工、钳工都会,现需选出 6 人完成一件工作需要车工、钳工各 3 人,问有多少种选派方案？分析：如果先考虑钳工,因为 6 人会钳工,故有 种选法,但这时不清36C楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的,因此也不清楚余下的 7 人中有多少人会车工,因此在选车工时,就无法确定是从 7 人中选,还是从 6 人、5 人、4人中选,同样,如果先考虑车工也会遇到同样的问题,因此需对全能工人进行分类,因为有 3 人是全能的,故有四种不同的情况可能出现,具体如下：（1） 选出的 6 人中不含全能工人；（2） 选出的 6 人中含一名全能工人；（3） 选出的 6 人中含二名全能工人；（4） 选出的 6 人中含三名全能工人；故有 234231423413232413234134 PCCCC 9注意：选出的全能工人,既会车工,又会钳工,这两种情况也需分开来进行讨论,这种分类方法避免了重复出现的机会,不遗漏任一情况,一般地,互斥性 原则在排列组合中应用十分广泛.3.层次性原则如果在解决某一问题时,需要分类讨论,当确定了某一标准进行分类讨论后,问题并没有得到解决,还需要继续进行分类讨论,这时,我们称之为两个不同层次的讨论,这就是分类讨论的层次性,而分类讨论的层次性原则是指分类讨论必须按同一标准的层次进行,不同标准的不同层次的讨论不能混淆,层次性原则实质上就是要求有层次的分类讨论不错位.例 4：解关于 x 的不等式：ax 2-(a+1)x+10 a R 分析：这是一个含参数 a 的不等式,它不一定是二次不等式,故首先应对二次项系数 a 进行分类,a=0 和 a0.当 a0 时,不等式是一元二次不等式,不等式的解集可能是两根之外,也可能处于两根之间,故又须分 a0 和 a0两种,确定了这一层后,又会出现 1 与 的大小问题 ,又需将 a 与 1 之间进行a分类,分三层讨论,具体过程如下：（1）当 a=0 时,原不等式化为 0xx（2）当 a0 时,原不等式化为 a(x1)(x ) 0a1i.若 a0,则化为 (x1)(x ) 0 x1 或 x aii.若 a0,则化为 (x 1)(x )0a1a).a1 时, 1 x1b).a=1 时, =1 解是空集ac).0a 1 时 , 1 1xa由上看出,分类讨论三原则,同一性、互斥性、层次性中,同一性要求分类不遗漏,互斥性则使分类不重复,二者是分类划分的基本原则,而层次性是在解决某些问题时,按同一标准一次分类,尚不能完全达到目的,而要求再次分类时必须掌握的原则,层次性是在同一性、互斥性的基础上的分类原则.三、 分类讨论的步骤同一性、互斥性、层次性三原则仅仅保证合理分类,是分类讨论中的核心步骤,解题中,分类讨论一般分为四步：第一， 确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围；第二， 正确选择分类标准,合理分类；第三， 逐类、逐段分类讨论；第四， 归纳并做出结论.下面从一个具体的例子出发来分析分类讨论的四个步骤.例 5：设 k R,问方程(8 k)x2+(k4)y 2=(8k) (k 4)表示什么曲线？分析：第一步,确定讨论对象及其范围.因为方程系数中含有参数 k,所以将 k 视为研究对象,k 的取值范围是全体实数 R.第二步,选择正确分类标准,合理分类.当 k4 且 k8 时,方程可变形为, (k4)与(8k)的正负会引起曲线有不同的类型,故“4”和1842kyx“8”是一个分界点,而 k4=8k 与 k40, 8k0,但 k48k 所表示的曲线也是不一样的,因此,“6”也是一个分界点,所以对 k 进行正确的分类应为： (,4) ，4， (4,6)，6，(6,8)，8，(8,)第三步,逐类、逐段分类讨论(1) k=4 时,方程变为 4x 2=0,即 x=0 表示直线(2)k=8 时,方程变为 4y2=0,即 y=0 表示直线(3)k4 且 k8 时,原方程化为 1842kyxi.当 k4 时 表示双曲线ii.当 4k6 时 表示椭圆iii.当 k=6 时 表示圆iv.当 6k8 时 表示椭圆v.当 k8 时 表示双曲线第四步,归纳并做出结论当 k4 或 k8 时, 方程表示双曲线当 4k6 或 6k8, 方程表示椭圆当 k=4 或 k=8 时,方程表示直线当 k=6 时,方程表示圆通过上例分析,我们可以看出,分类讨论第一要明确为什么要分类讨论,第二要形成分类讨论的意识,第二要学会如何合理分类并正确进行讨论,第四要掌握分类讨论的严密性和表达的正确性.四、 引起分类讨论的七种环境并非所有的数学问题都需要进行分类讨论,但若涉及到以下七种情况,常常需要进行分类讨论使问题简单化.1. 概念分段定义例 6：求函数 的值域 .ctgxtxycossin分析：这个问题出现绝对值,而绝对值是分段定义的概念,因此需要根据实数绝对值定义分类讨论,而此题涉及到三角函数值的正负,即将 x 分为四个象限：当 x 在第一象限时,y=4； 当 x 在第二象限时,y=2；当 x 在第三象限时,y=0； 当 x 在第四象限时,y=2；所以值域是 4,02像绝对值这样分段定义的概念,在中学数学中还有直线的斜率、复数的辐角主值等,当这些概念出现时,一般要进行分类讨论.2. 公式分段表达在解决数学问题时,常常要用到数学公式,若该公式是分段表达的,那么在 应用到这些公式时,需分类讨论,常见的分段表达的公式有：(1)a,b R+(当且仅当 a=b 时等号成立)；a,b R (当且仅ab2ab2当 a=b 时等号成立)； na1 q=1(2)等比数列前 n 项和 Sn= q1 qan)(3)实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的求根公式; (4)一元二次不等式ax2+bx+c0(a0) 的解：当 0 时,x ;当 =0 时, 且 x ;Rabx2R当 0 时,x ,x ；(5)三角函数中的半角公式等.ab2ab23. 实施某些运算引起分类讨论在解决数学问题时,不论是化简、求值还是论证,常常要进行运算,若在不同条件下实施这些运算时会得到不同结果时,会引起分类讨论.例 7：解关于 x 的不等式： a(2x) a(x+1)(其中,n21n21n常数 a 0 且 a1),N分析：由于不等式两边都有相同的因式 ,我们在不等式两边同除21n以这个式子,而当 n 为奇数时,其为正,当 n 为偶数时其为负,从而影响了不等式中不等号的方向,因此须对 n 进行分类讨论：(1) 当 n 为奇数时,因为 0,所以 a(2x) a(x+1).又21n2x0因为 a0 且 a1,所以当 a1 时, x+10 1x2xx+12x0当 1a0 时 , x+10 0x12xx+1(2) 当 n 为偶数时,因为 0,所以 a(2x) a(x+1).又因为2n2x0a0 且 a1,所以当 a1 时, x+10 0x12xx+12x0当 1a0 时 , x+10 1x2xx+14. 图形位置不确定如果图形的位置不确定,常常会引起分类讨论,因此,如果图形可能处于不同位置并且影响问题的结果时,首先要有分类讨论的意识,其次要全面考察,分析各种可能的位置关系,然后合理分类讨论,防止漏解.例 8：已知圆 A：x 2+(y2) 2=1,动圆 P 与圆 A 相切并且 x 轴相切,求圆 P的圆心 P 的轨迹方程 ,并指明表示何种曲线？分析：由于动圆 P 与定圆 A 相切,因此它们之间位置不确定：可能外切,可能内切,引起分类讨论：xyBApco(a)b(1) 如图 a,当圆 P 与圆 A 外切且切于点 B 时,作 PCx 轴,因为圆 P 与 x轴相切,令 P (y0),则yx,1BC所以 y= 36)2(22yx(2) 如图 b,当圆 P 与圆 A 内切且切于点 B 时,作 PCx 轴所以 1PBy所以 y= 321)2(2 yxx综合(1)(2)得,点 P 的轨迹为拋物线 x2=6y3 及 x2=2y35. 图形的形状不同当图形的形状不确定时,要对各种可能出现的形状进行分析讨论.例 9：求圆锥曲线 的焦距( 其中 m0,m 1)12myx分析：因为方程 根据 m 的正负,形状不一样 ,所以需对 m 进行2讨论.(1) 当 m0 时,方程表示双曲线： ,a2= m2,b2 =m 12yx,所以,焦距为 2c2 m(2)当 m0 且 m1 时,方程表示椭圆,若 ,则因为 m2m, 所以 a2 = 10m, b2 = m2 ,所以焦距为 2 ；若 m ,则因为 m2m,所2c2以 a2 = m2, b2 = m ,所以,焦距为 26. 字母系数参与引起分类讨论字母系数的出现,常常会使问题出现多种不同情况影响了问题结果,从而引起分类讨论.例 10：函数 的最大值是 6 ,最小值是2 ,求bxaycossin22a,b 的值.分析：因为函数表达式中出现字母,所以分类讨论,而函数可变形为,即要对 a 进行分类.bxy)4/sin(2(1) 当 a0 时, ,26mxby 2minba