MATLAB在复变函数中的一些应用毕业论文

MATLAB 在复变函数中的一些应用姓名：刘乐学号：12013241953专业：通信工程班级：2013 级通信 2 班指导老师：朱瑜红学院：物理电气性息学院完成日期：2013 年 11 月 9 日MATLAB 在复变函数中的一些应用(刘乐 12013241953 2013 级通信 2 班)【摘要】MATLAB 是目前应用最广泛的工程计算软件之一.本文利用 MATLAB 强大的数值计算和绘图功能,将复变函数论中的一些典型实例实现了计算机的数据自动计算和可视化.从而使抽象、繁杂的内容具体化、简单化.【关键词】复变函数；MATLAB；可视化一、问题提出复变函数 理论诞生于18世纪,欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯等都是这门学科1的创建者.19世纪，通过柯西、黎曼、维尔斯特拉斯等一些著名学者的大量奠基性工作,这门学科得到了全面发展.复变函数理论这个新的数学分支被公认是19世纪最丰饶的数学分支和抽象科学中最和谐的理论之一.20世纪初，复变函数理论又有了进一步的进展,开拓了复变函数理论更广阔的研究领域，复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛应用.MATLAB 语言是当今国际上科学界(尤其是自动控制领域)最具影响力,也是2最有活力的软件之一.它起源于矩阵运算,并已经发展成一种高度集成的计算机语言.它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、便捷的与其他程序和语言接口的功能. MATLAB是一种具有强大数值计算、分析和图形处理功能的科学计算语言,其应用领域极为广泛,而且操作简单、代码少、效率高,有人称为第四代程序设计语言.MATLAB越来越多的应用在复变函数领域中.利用MATLAB求解可以简化对求复数的导数、极限、积分、 次方根、留数和级数展开 等的一些基本计算详见文n献3-11.但是,在分析一些复变函数性质的时候,利用MATLAB的计算功能不一定直观、明了.因此,可以利用MATLAB作图来分析这些复变函数的性质,在文献12中也有所涉及.本文主要分为两个部分,第一部分主要论述MATLAB在复变函数中的计算,主要包括：复数的计算、复数的微积分、求解复数方程、留数的计算以及Taylor级数的展开.这部分主要说明：在复变函数中很多问题都可以利用MATLAB强大的数值计算和符号运算功能来解决.第二部分中,进一步研究关于利用MATLAB高质量的图形可视化处理功能作图分析一些复变函数性质.这部分主要说明：利用MATLAB高质量的图形可视化这一优点,使一些抽象的、复杂的复变函数问题变得具体化、简单化.二、MATLAB在复变函数计算中的应用1、复数的计算MATLAB有着强大的数值计算功能,是MATLAB软件的基础.在MATLAB中,复数(， )的实部、虚部、共轭复数和辐角都可以调用内部函数来计zaib1算.而对于复数的乘除、开方、乘幂、指数、对数、三角运算也和其他语言一样.下面我们来看几个具体的例子.例1 对下列复数进行化简,并求它们的实部、虚部、辐角、模、共轭复数.; ; ; ; .032ii234()15i201i3iln(5)i分析：我们知道上面这几个复数的计算都比较简单.但是,我们在处理许多这样的问题的时候,工作量随之增加.利用MATLAB强大的矩阵运算功能可以把这些问题得到很好的解决.利用简单的MATLAB语句：real()、imag()、angle()、abs()、conj()可直接求出该复数的实部、虚部、辐角、模与共轭复数.解：在MATLAB命令窗口输入如下复数矩阵： A=i10+i3+i+12 (3+i)2*(1+i)2)/(5+i)3*(2+i)4) 3-2*i i2012 log(5+i)(1/2)+i)A =11.0000 0.0059 - 0.0014i 3.0000 - 2.0000i 1.0000 0.9393 + 0.4983i real(A) %复数矩阵A的实部ans = 11.0000 0.0059 3.0000 1.0000 0.9393 imag(A) %复数矩阵A的虚部ans = 0 -0.0014 -2.0000 0 0.4983 angle(A) %复数矩阵A的辐角ans = 0 -0.2325 -0.5880 0 0.4877 abs(A) %复数矩阵A的模ans = 11.0000 0.0060 3.6056 1.0000 1.06322 conj(A) %复数矩阵A的共轭复数ans =11.0000 0.0059 + 0.0014i 3.0000 + 2.0000i 1.0000 0.9393 - 0.4983i从上例我们可以看出,利用MATLAB不仅可以求复数的加、减、乘、除，而且还可以求复指数、复对数等.并且可以把它们的实部、虚部、共轭复数等都求出来.当很多复数要处理这些问题时,我们还可以利用MATLAB强大矩阵运算功能把这些复数构建成矩阵的形式一起解决.例2 计算 和 .13iei分析：在MATLAB中的乘除由“*”和“/”来实现.解：MATLAB程序如下： i*exp(1/3*i)ans =-0.3272 + 0.9450i i*exp(1/3*i)ans =-0.3272 + 0.9450i可见,MATLAB程序中i*exp(1/3*i)和i*exp(1/3*i)是不相等的.例3 计算 .38分析：在实数域内, .这时 就只取三值中的实值 .下面,33=8238我们按常规方法和利用MATLAB来计算此题.解：因为 ，故8(cosin)(k=0,1,2) 当k=0时，3322()s)3kkk0=(csi；132)ii3；3122(8)=(cossin)33kk32 13i利用MATLAB来计算： (-8)(1/3)ans = %默认的结果变量1.0000 + 1.7321i可见,对于多值函数,MATLAB 仅仅对其主值(k=0 时)进行计算.2、复变函数的微积分复变函数的微积分包括极限、导数(包括偏导数)、符号函数的积分以及复数方程等,这些都可以通过 MATLAB 的符号运算工具箱来实现.我们看下面几个具体的例子.例 4 求下列极限：(a) ；(b) .0sin()lmzli(1/)ttz分析：一般求复变函数极限的时候,主要把复变函数的极限问题转化为它的实部和虚部的极限问题,再讨论这两个二元实变函数的极限问题.但对于多数复变函数而言,写出它的实部和虚部比较复杂,比如：例(a)中用泰勒展开式证明的时候就比较复杂.下面我们利用MATLAB求极限.解：(a)MATLAB 程序如下： syms z %定义符号变量 f=limit(sin(z)/z,z,0) %f 表示 sin(z)/z 以 z 为变量在 0 处的极限f = 1(b)MATLAB 程序如下： syms z t f=limit(1+z/t)t,t,inf) %limit 对函数求极限符号，inf 表示无穷大f = %对 f 求极限4exp(z)从上例可以看出,当利用 MATLAB 求极限时我们只需要掌握几个常见的步骤：(1).定义变量；(2).列出 ；(3).对 求极限.ff例5 试求 在 点处的左右极限.,0().zf()fz0分析：首先,我们利用MATLAB符号计算方法计算.解：MATLAB程序如下： syms z f1=limit(z/abs(z),z,0,left)f1 =-1 f2=limit(z/abs(z),z,0,right)f2 = 1从运行的结果可以看出,左极限为-1,右极限为 1,左右极限不相等,所以的极限不存在.我们也可以通过 MATLAB 作图更加形象的理解它的性质.下()fz面利用 MATLAB 作图分析此题.解：MATLAB程序如下： z1=-2:0.01:0;f1=z1/abs(z1); %abs()表示绝对值符号zr=0:0.01:2;fr=zr/abs(zr);plot(z1,f1,zr,fr)axis(-2 2 -1.5 1.5) 仿真结果如下：5-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5-1-0.500.511.5图2-1观察图2-1可以清楚的看到,z=0是其间断点，其右极限为1,左极限为-1,故在 处的极限不存在.()fz0例 6 试对下列函数求导.(a)设 ，求 的导数 ；9fzff(b)试对表达式 求一阶导数和偏导数.32(,)4xyxy分析:上述两个例子在求导问题中具有一定的代表性(求一阶导数和偏导数).我们在解决复变函数求导问题的时候,常常因为高次、多元使得我们求导错误.如果我们利用 MATLAB 来求导数,我们只需要掌握几个命令.比如：diff(f,z)表示f(z)对 z 求导，diff(dfdx,y)表示 f 对 x 求导后再对 y 求导数.解：(a)MATLAB 程序如下： syms z f(z)=z9; df(z)= diff(f,z) %f(z)对自变量 z 求导数df (z)= 9*z8(b)MATLAB 程序如下： syms x y f=x3+4*x2*y-y2; df=diff(f)df = 3*x2+8*x*y %x 是默认的自变量6 dfdx=diff(f,x)dfdx =3*x2+8*x*y dfdy=diff(f,y)dfdy = 4*x2-2*y dfdxdy=diff(dfdx,y)dfdxdy =8*x dfdydx=diff(dfdy,x) dfdydx =8*x例 7 计算下列积分.(a)计算积分 ，积分路径 C 是连接由 0 到 1+i 的直线段；2()cxyidz(b)计算积分 .921)()(3)zf dzi分析：复积分的积分路径既可以是开曲线,也可以是简单闭曲线.由于积分路径以及被积函数的差异,导致有些复积分的计算比较复杂.但是利用 MATLAB 很容易计算复变函数的积分.下面我们来看具体的例子.(a)中 C 的参数方程为： 由参数方(1),0,(1),zitxtydzit程法得： ，下面我们利用 MATLAB 来求积分.220()cxyidtd解：MATLAB 程序如下： syms t int(t+t+i*t2)*(1+i),0,1) %int 积分符号ans =2/3+4/3*i(b)由题意可知 在积分路径 C 有两个单极点 1、-3 和一个 9 级极点.为()fz了避开计算 9 级极点 的留数.可以改成求无穷远点的留数.i7解：MATLAB 程序如下： syms t z z=2*cos(t)+i*2*sin(t); %建立积分路径 C 的参数方程 f2=1/(z+i)9/(z-1)/(z-3); %输入被积函数 的表达式()fz f2=int(f2*diff(z),t,0,2*pi)f2 = -481/62500000*pi+1917/62500000*i*pif2 =-2.4178e-005 +9.6359e-005i3、复变函数方程求解利用MATLAB符号数学工具箱提供的命令solve求解方程,solve函数的适应性很强大.但是我们在用solve求解方程时得到的精确表达式显得不是很直观.例8 求下列方程的根.(a) ;432ln()10z(b) .cos)/i分析：可调用MATLAB的内部函数solve进行求解.解：MATLAB程序如下： solve(log(z4+2*z3+z2+3)=10) %solve表示对方程求根ans =-1/2+1/2*(1+4*(exp(10)-3)(1/2)(1/2)-1/2-1/2*(1+4*(exp(10)-3)(1/2)(1/2)-1/2+1/2*i*(-1+4*(exp(10)-3)(1/2)(1/2)-1/2-1/2*i*(-1+4*(exp(10)-3)(1/2)(1/2) solve(cos(z+i)=1/2)ans =-i+1/3*pi4、留数的计算留数在复变函数中占有很重要的地位,比如积分计算可以转化为先求被积函8数的留数,再利用留数定理求被积函数的积分.但是我们在求某些留数的时候显得很难.我们用下面方法来求留数.(1).通过求极限的方法计算留数.如果已知孤立奇点 和阶数 ,那么在0znMATLAB中计算函数的留数只需利用到下面的命令即可求得：R=limit(F*(z-z0),z,z0) %单奇点的留数R=limit(diff(F*(z- z0)n,z,n- 1)/prod(1:n-1),z,z0) %n阶奇点的留数详见文献13.例9 求函数 在孤立奇点处的留数.41()fzi分析:由原函数 可知, 是四阶极点 , 是一阶极点.4()fzi0zzi解：由MATLAB命令可求出这两个奇点的留数： syms z f=1/(z4)*(z-i); R1=limit(diff(f*(z-0)4,z,3)/prod(1:3),z,0)